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第十章 随机过程的基本概念
1利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程
X(t)的X cost ,出现正面,一:::::仁:二.出现正面与反面的概率相等。求: 、2t,
X(t)的
1 1
维分布函数 F(x,—)和F(x,,),X(t)的二维分布函数 F(X1,X2; —,1)。
2 2
解:以随机变量Y记抛掷硬币的试验结果,则
解:以随机变量
Y记抛掷硬币的试验结果,则
丫二-1,出现正面,
[1,出现反面.
且 P(Y=1) =1(1
且 P(Y=1) =
1
(1)、当匕时,
1
P (Y …1)?-
応 1 1
若 丫 =1,则 X(—)= cos(—)=0 ;若 Y 二「1,则 X(—) =2?(—)=1。
2 2 2
亍是
1 1 1 1
Fx(x,_) =P{X(_)空 x} =P{X(_) Ex|Y =1}P{Y =1} P{X(—)空 x|Y = -1}P{Y = —1} 2 2 2 2
(2 )、0,1,当t =1时,F(xi, X
(2 )、
0,
1,
当t =1时,
F(xi, X2;
x 0,
0,
1
0 乞x:::1, 类似可得 Fx(x—) = P{X(1) ^x} ,
I2
1,
-仁 x :: 2,
1 _x.
1 1
若 丫 =1,则 X(—)二 cos(二)=-1 ;若 Y =「1,则 X(—) =2?(1) = 2。
2 2
x ■■■■ 0, - x2 :::,
捲 _ 0, x2 -1,
0,-1
2
1
2
1
% 1,-1 一 x2 2,
片 1,x2 - 2.
2, ??.
2, ??. 2 ,32 (将a代入即得),而
2 2
P{X([) =P{A=1} =3’
p{xq「.2} = p{A=2}E,
2、设随机过程是 X(t)二Acost,t,R。 A随机变量,概率分布列为
A
1
2
3
P
1/3
1/3
1/3
(2)、二维分布函数 F(X1,X2;0,兰)。
3
求;(1)、一维分布函数 F(x,王)和F(x,兀);
4 2
二 二 一 2
解:(1)因为X(—) =Acos A,可取值为
4 4 2
P{X(睿)=学} = P{A=3}=1 . 所以F(qo, x :: -^,1 、2, X 八 2,3 22, 2
P{X(睿)=学} = P{A=3}=1 . 所以
F(q
o, x :: -^,
1 、2
, X 八 2,
3 2
2, 2
3
1,
3、. 2
x :::
2
32
x .
2
因为 X (—)= A
2
c”只能取0值,故
F(x,2)
0‘‘
x :: 0,
x _0.
(2)、因为,由
A
FEN寸PESO亠Ac。宁小Pgx,厂小
十{A%A 空 2X2}= PSg "2x2
f{AE2x2} 2x2 ex-
JT
JT
所以
F(Xi,X2;0,-)=
0,
1
3
2
3
Xi
1,
、 1
% _ 2x2, % : 1或 2x2 : x-! ,x2 ,
2
、 1
-2x2,1 一 x ■■■ 2或2x2 :为, x2 : 1,
2
-2x2,2 - x : 3或2x2 人,1 _ x2 ?,
2 疋 _ 2x2,为 _ 3或2x2 捲,X2 _ 3.
2
3、设随机过程X(t) = A ? Bt,t 一0,其中A与B是相互独立的随机变量,均服从标准正态 分布。求 X(t)的一维和二维分布。
解: 因为对任意固定的t?T,X(t)是正态随机变量,故
E[X(t)] =E(A) E(B)t =O,D[X(t)] =D(A) D(B)t2 =1 t2.
所以,X(t)服从正态分布N(0,1,t2),从而也是随机过程 X(t)的一维分布。
其次,对任意固定的t1,t^ T,X(tJ =A - Bt1,X(t2)=A - Bt2,则依n维正态随机向 量的性质,(X(tJ,X(t2))服从二维正态分布,且
E[X(t1)] =0,E[X(t2)] =0,D[X(t1)] =1 廿亠以⑹]=1 t;,
Cov[X(t1),X(t2)] =E[X(t1)]E[X(t2)] =1 応.
所以,二维分布是数学期望向量为( 0, 0),协方差矩阵为|1十匕1+t£ I的二维正态分
]1+址2 1+t; 一
布。
4、 设随机过程 X(t) =X COS,,t( - :: ::: t < --),其中,为常数,X是服从标准正态分布的 随机变量。求 X(t)的一维分布函数和协方差函数。
解: E[X(t)]二 E(X)cos t =O,D[X(t)]二 D(X)(cos,t)2 =(cos,t)2.
故{X(t),t T}的一维分布函数为 N(0,(cos t)2)。
协方差函数是随机过程{X(t),r T}在任意两个时刻t1和t2的状态X(
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