历年全国各省高考真题详解汇编(函数与导数).docx

函数与导数 1.如果函数 f x 1. 如果函数 f x 1 m 2 x2 n 8 x 1 m 0， n 0 在区间 1 ，2 单调递减， 则 mn的最大值为 （ 15 四川） A ) 16B)18C)25 A ) 16 B)18 C)25 D)821 问题】则 mn 的最大值为 求最值。 条件翻译】 1、 。 2、函数在区间 1， 2， 2 单调递减，可得出 f x 0 ； 1 1 f( ) 0 ， f(2) 0 。即即 2 ， ，又因 为 。所以可以利用可行域来求最值。 关键词】单调递减 最大值 令 Z=MN ，若要相乘值最大，那么 N、 M 的值就应该越接近一样大。经验证， m 3,n 6 满足条件。故选 B 。 【错误解析】由 f x 单调递减得： f x 0 ，故 m 2 x n 8 0在 1，2 上恒成 2 立。而 m 2 x n 8 是一次函数， 在 1，2 上的图像是一条线段。 故只须在两个端点处 2 f 120,f 2 0 即可。由 f 12 0,f 2 0 即可。由 2 1 2 得： m n 10。所以， mn m2 n 25. 选C。经验证， m 3,n 6满足条件 1, 2。故选 B。 错误原因】 mn当且仅当 m n 5时取到最大值 25，而当 m n 5， m, n不满足条件 1,2。 解法 2 】同前面一样m,n 满足条件 1 , 2 。由条件 2 解法 2 】同前面一样 m,n 满足条件 1 , 2 。由条件 2 得： 1 m 12 12 n 。 于是， 1 1 n 12 n mn n 12 n 2 2 2 18 。mn 当且仅当 m 3,n 6 时取到最大值 18。经 验证， m 3,n 6 满足条件 1 , 2 。故选 B 。 【解题技巧】 1.解题方法 ：根据问题为求最大值， 求最大值， 最小值常用的方法： ①定义法， 即单调性的判断，②导数法。利用导数求出在区间内的最值，③不等式求最值法。即 a b a 2 b2 ab 来求解。但这到题中含相关未知数的的式子（即含 M、 N 的式子） 22 为不等式（其他解题方式均为等式） ，最好用可行域来做不容易出错。 在考试中我们有可能想不到这么多， 那么我们要养成一种习惯： 将解出的答案带到条件 中（如此题中 1 , 2 ） 去验证，看是否符合题意 。 21.（本小题 14 分）已知函数 f x 2 x a ln x x2 2ax 2a2 a ，其中 a 0 。（ 15 四川） （1）设 g x 是 f x 的导函数，讨论 g x 的单调性； （2）证明：存在 a 0,1 ，使得 f x 0 在区间 1, 内恒成立，且 f x 0 在区间 1, 内有唯一解。 问题（ 1）： 【问题】讨论 g x 的单调性。 【条件翻译】 1、a 0。2、g x 是 f x 的导函数， 可得出 。则要讨论 的单调性，还需要对 g x 进行求导。但要注意，在求导时应该求出定义域的范围。此题定 义域 x0。 【关键词】求导 解：（ 1） f x 2 x a ln x x2 2ax 2a2 a g x f x 2lnx 2 g x f x 2ln x 2 2a 2x 2a a 0,x 0 x 2 2 2ag x x2 2xa2 2 2 2a g x x2 2xa2 2 2 a 0,x 0 x 大于 0货小于 0时，x 的取值范 走到这一步，我我们还需要设一个函数，以此来讨论 围和 a 的取值范围。 。 令 H(x)= 当Δ0时，a1 ， 0，g x 在定义域内单调递增。 4 H(x) 0， 当Δ =0 时， a= 1 ， 1 ≥0 ， g x 在定义域内单调递增。 4 H(0) 0，对称轴为 x= 2 ，所以 当 Δ 0 时， a 1 ， 1 在定义域内有增有减。求出根为 4 H(0) 0，对称轴为 x= 2 ，所以 1 1 4a 1 1 1 4a 1 x1 0, ,x2 ,1 所 以 g x 在 2 2 2 2 2 ， 1 1 4a 1 1 4a 0 x ,x 时单调递增。 22 1 综上所述，当 a 时， g x 在 0, 上单调递增。 4 1 1 1 4a 1 1 4a 当 0 a 1 时， g x 在 (0,1 1 4a),(1 1 4a, ) 上单调递增 ，在 4 2 2 1 1 4a ,1 1 4a) 上单调递减。 22 问题( 2)： 问题】讨论 g x 的单调性 恒成立 【条件翻译】 1、存在 a 0,1 ，使得在 f x 0 区间 1, 内恒成立，可得出应该求出 f x 1, f x 的导数在 1, 是否递增，并且证明 , 关键词】恒成立 关键词】 恒成立 由( 1)得 f x g x 在 1, 内单调递增。且 f 1 2 2