2021数系的扩充和复数的概念.ppt

柏乡中学 赵慧超 一、创设情景，探究问题 x ?? 1 , x ? ? 联系从 自然数系 到 实数系 的扩充过程，你 能设想一种方法，使这个方程有解吗？ 2 回忆数的扩充 3 ? 4 ? ? 无理数 分数 实数 有理数 负整数 整数 2020/3/2 自然数 想一想 ：数系为什么要扩充？在扩充过程 中什么是保持不变的？ 1 、在原有数集中某种运算 不能进行 2 、原数集中的 运算规则 在新数集中 得到了保留 二、合情推理，类比扩充 思考？ x ? ? 1 2 上述方程在实数中无解，联系从 自然数系 到 实数系 的扩充过程，你能设想一种方法，使这 个方程有解？ 问题解决 : 为了解决 负数开平方 问题，数学家 大胆 引入一个 新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： i ? ? 1 ； (1) (2) 实数可以与 i 进行四则运算 , 在进行四则运算时 , 原有的加法与乘法的运算律 ( 包括交换律、结合律 和分配律 ) 仍然成立 . 注：虚数单位 i 是瑞士数学家欧拉最早引用的，它取自 imaginary ( 想象的，假想的 ) 一词的词头 . 2020/3/2 2 实际应用 由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理 论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工 具 . 说一说 1 、下列这些数与虚数单位 i 经过了哪些运算？ 2 ? i , 3 i , 2 ? 3 i , ? 0 ? 3 i 2 ? 3 i , 3 ? 3 ? 0 i a ? bi 2 、这些数的形式有什么共同点？你能用一个 式子来表示这些数吗？ 2020/3/2 1 、复数的概念 定义： 把形如 a+bi 的数叫做 复数 （ a,b 是实数） 其中 i 叫做虚数单位 复数全体组成的集合叫 复数集 ，记作 C 2020/3/2 数 系 的 扩 充 虚数 无理数 ？ 复数 实数 分数 负整数 有理数 整数 2020/3/2 自然数 2 、复数代数形式 ? a , b ? R z ? ? a ? b i 实部 虚部 虚数 单位 a ? bi 注：对于复数 z ? 以后不作特殊说明， 都有 a , b ? R 2020/3/2 2 ? i , 3 i , 2 ? 3 i , ? 0 ? 3 i 2 ? 3 i , 3 ? 3 ? 0 i 2020/3/2 观察下列复数，你有什么发现？ 实数 0 , ? 3 , 2 , ? 0 . 2 , 1 ? , 2 i 2 = -1 虚数 1 i , 2 1 3 ? 2 i , ? 3 i , 2 2 i , 1 i , ? 1 ? i , ? 2 ? 4 3 1 ? 3 i ( 7 ? 1 ) i , ( 1 ? 5 ) i , ? 3 i , 3 i , 纯虚数 2020/3/2 3 、复数的分类 1 、复数 z = a + bi 当 b=0 时， z 是实数； 当b≠0时， z 是虚数； i 不存在 i 要存在 只有 i 当 a=0 且b≠0时， z 是纯虚数； 当 a=0 且 b=0 时， z 是 0 2020/3/2 实 数 ( b ? 0 ) ? ? 纯 虚 数 ( a ? 0 ， b ? 0 ) ? 2 、 复数 z = a + bi ? 虚 数 ( b ? 0 ) ? ? 非 纯 虚 数 ( a ? 0 ， b ? 0 ) ? ? 3 、即时训练 ? 若 m+(m-1)i 为实数，则 m= （ ） ? 若 x+(2x-1)i 为纯虚数，则 x= （ ） 2020/3/2 想一想 复数集与实数集、虚数集、纯虚数集 之间有什么关系？ 虚数集 复 数 实数集 纯虚数集 集 由上可知，实数集 R 时复数集 C 的 真子集 。 2020/3/2 4 、复数相等 ▲ 如果两个复数的 实部 和 虚部 分别相等，那 么我们就说这 两个复数相等 . 即 ? a ? c a ? bi ? c ? di ? ? b ? d ? ( abcd , , , ? R ) 注： 两个 虚数 不能比较大小 ， 只能由定义判断它们 相等或不相等 。 2020/3/2 即时训练： 1. 若 2-3i=a-3i, 求实数 a 的值； 2. 若 8+5i=8+bi, 求实数 b 的值； 3. 若 4+bi=a-2i ，求实数 a,b 的值。 2020/3/2 三、典例分析，巩固提升 例 1 、 完成下列表格（分类一栏填 实数、虚数 或纯虚数 ） 1 ? 3 i 1 4 ? ? i 2 3 2 i i 2 1 0 0 -3 1 ? 2 4 3 0 2 纯虚数 -1 0 实数 虚数 实数 虚数 2020/3/2