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微 分在数列求和中的 用
数列求和是中学 段数列部分的重要内容之一，有 多初等解决方法． 本文探 的是运用微 分知 行数列求和的基本方法，从中可 高等数学与初等数学的密切
系．
微分知 在数列求和中的 用首先 明一个等式：
事 上利用二 式定理有：
而： (x－ 1)(1＋ x＋ x2＋?＋ xn)＝ xn+1－ 1
当 x≠ 1 ，两 同除以 x－ 1 得：
恒有：
从(Ⅰ) 式出 利用微分知 可推出以下求和公式：
对(Ⅰ) 式两边求导则有：
由(Ⅰ)式可知
两边求二阶导数，则：
令 x＝ 1，则
公式 3：
由(Ⅱ)式，可知：
两边求导得：
令 x＝ 1，则：
仿此，若 (Ⅲ )式两边同时乘以 x 求导后再令 x＝ 1，便会有：
公式 4：
积分知识在数列求和中的应用首先由二项式定理：
两边对 x 从 0 到 1 求积分，则：
从而有：
公式 5：
如果两 x 从 0 到 2 分， ：
便可得到：
公式 6：
推广便有：
公式 7：
由以上知 ，若 想到 1994 年《中学生数理化》 ( 高中版 )3 期“数学 有 征答”
第 2 ： θ≠ 2kπ (k∈ N)且
sinθ＋ 2sin2θ＋?＋ nsin(nθ) ＝ 0，
求 ： (n＋1)sin(n θ )＝ nsin(n＋1)θ
其巧妙 法可 ：
f( θ )＝ sinθ＋ 2sin2θ＋?＋ nsin(nθ )
则： (n＋ 1)sinnθ ＝nsin(n＋ 1)θ
从以上可以看出，充分研究高等数学与中学数学的联系，可以为中学数学的教与学带来方便．
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