数值分析试b卷答案.docx

上海海事大学 2018---2018 学年第 2学期 研究生数值分析课程考试试卷B ＜答案） 学生姓名： 学号：专业： .填空题 ＜每小格3分共33 分） 以线性迭代 f 求解Ax=b时，迭代收敛的充要条件是 迭代矩阵IL 已知卫, 是以整数点0,1,2,…为节点的Lagrange 插值 基函数，贝u: 工T = x , 设 0 则差商 5 J 0 4.对于求解非线性方程■^1 4.对于求解非线性方程 ■^1 , Newton法的迭代公式是 Newto n-Cotes数值求积公式 1 X I 的代数精度至少具有 n 次，当n为偶数时，求积公式代数精度至少具有 n_+1—次，且 E! 1 QR法是计算非奇异矩阵的所有特征值和特征向量的计算方法 7 ?求解常微分方程初值问题 它是2阶方法。的 它是2阶方法。 .用基函数构造法，求一个次数不高于 4次的Hermite 插值多项式 —, 使它满足： J ， 丨 ， 1 0 7分） 解：解： r — r 假设已知矩阵A的某个特征值 的近似值I，即有 J ， EJ。试分析用什么方法可以修正特征值 71的近似值耳，并得到相应于特 征值引的特征向量。 6分） 解：设 .=」，故二［是B的按模最小特征值。由反幕法可得: 「一1 ，作 1 ，即 1 得叵，则对充分大的 ， __ 即为特征值 对应的特征向量）且： EH1 四. 设有方程组 Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式 试证明：当时，迭代序列收敛。 试证明：当 时，迭代序列 收敛。其中 是A的最大特征 证明:迭代矩阵 证明: 迭代矩阵 值）6 分） 可以得 ，特征值为 ，贝U | ，故 时,,成立，所以迭代收敛，其中A是当取何范围值时A为正定。又取何范围值时， 时, ,成立 ，所以迭代收敛 ，其中A是 当取何范围值时A为正定。又取何 范围值时，Jacobi迭代为 证： 是收敛的。6分） 因为A正定，所以各阶顺序主子式 0, | || ，得.1JI 如2D-A也正定，则Jacobi迭代收敛，所以 a 六.给定求积公式 试决定A、B和C使其具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的代数精度的次 数7分） 解 当 f（x=1 时 左==2， 右=A+B+C 当 f（x=x 时 左=区|=0， 右=f v— A+C） 当 f（x=x 2 时 左= I 乂 1 ， 右=』A+C） 要使求积公式至少具有2次代数精度，其充分必要条件是A，B，C满足 如 下方程组： 解得 .，冋， I 代入①得 =0, 左=右 当 f(X=X °时 左=〔，右= 丨X】 左工右 综上，当求积公式①中求积系数取 四， 『I , ILi时得到求积 公式②，其代数精度取到最高，此时代数精度为3 七.求 0 在［-1,1］上的最佳二次逼近多项式。已知 5分）所以八?证明用单步法求解初值问题 5分） 所以 八?证明用单步法 求解初值问题 呂 ， 可以给出准确解。7分) 解：因： | 又由taylor展开得:，故当 ［ 又由taylor展开得: ，故当 ［ 由此: 时，该法可得准确解。 九?试用口I关于互异节点」和」 的插值多项式—和」构造出关于 节点」 的不超过n-1次的多项式。7分) 解：因为 0 L 1 ， I ，且都为不超过 n- 2次的多项式，故 I ，所以为不超n-1次多项式 所以 所以 设 ，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛 的。8 分） 解：因为： 1 ; 故： 【一■ o 十?证明：左矩形求积公式又：分划［a,b］得: 十?证明：左矩形求积公式 所以:其中:有:十一.对于初值问题 2若函数 —I在区域 —I 满足条件，试说明二阶Runge-Kutta 方法在一条件下是收敛的。并用该 所以: 其中: 有: 十一.对于初值问题 2 若函数 —I在区域 — I 满足 条件，试说明二阶Runge- Kutta 方法 在一条件下是收敛的。并用该 方法求解初值问题 ——I ,—」 讨论绝对稳定性对步长的限制 8分） 解：因为: 其中 I 由收敛定理得：二阶 Run ge-Kutta方法是收敛的。 由—|] ,得 H |