数列问题的题型与方法78.docx

第11讲 数列问题的题型与方法 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等 差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试卷经常是综合题，经常把数列知识和 指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试卷也常把等差数列、等比数列，求极限和数 学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰 富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配 方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面； 1）数列本身的有关知识，其 中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 2）数列与其它知识的结合， 其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 3）数列的应用问题，其中主要是以 增长率问题为主。试卷的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中 档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 一、知识整合 ?在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n项和公式的基础上，系统掌 握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运 用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题； ?在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认 识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力， 进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. ?培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数 的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 、方法技巧 ?判断和证明数列是等差 等比）数列常有三种方法： （1定义法：对于n》2的任意自然数，验证 1 为同一常数。 （2通项公式法： 若 、= 二+n-1 ） d= U+n-k ） d ,则」为等差数列； 若 ;.J 丿⑴ ，则」为等比数列。 （3中项公式法：验证中项公式成立。 在等差数列.训中,有关 的最值问题一一常用邻项变号法求解： (2＞当匚＜0,d＞0时，满足 ］的项数m使得’+取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时 ，注意转化思想的应用。 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项 ?证明数列叵是等差或等比数列常用定义，即通过证明 I 或 X. 而得。 ?在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地 运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 .注意耳与之间关系的转化。如： = | _| , = ?数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的 概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路. ?解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭 示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略. 四、例题解读 例1.已知数列｛a ｝是公差d和的等差数列，其前n项和为S . (1)求证：点卩卫寸)卫(2,寸),1*卫血(11,严|在同一条直线1］上; (2＞过点Q(1, a＞, qE(2, J＞作直线12，设L与d的夹角为0,求证：tan0＜ 证明：(1＞因为等差数列｛a ｝的公差d和，所以 Kp p 是常数(k=2, 3,…，n＞. 所以珀 珀…，人都在过点P】(l, a)且斜率为常数#的直线1】上 (2＞直线J的方程为y-a =d(x-1＞，直线J的斜率为d. 冋2 + d2i+d* 一22 冋 2 + d2 i+d* 一 2 2 当且仅当￡=|d|,即|牛走时等号成立. 14 □ 例2.已知数列 ⑴设数列 ⑵设数列 I 1 罷 鹉 |d| 中，I是其前?1项和，并且 1 ，求证：数列丄是等比数列; ，求证：数列 _J是等差数列; ⑶求数列叵的通项公式及前 项和。 分析：由于｛b :| ｝和｛c :| ｝中的项都和｛a :| ｝中的项有关，｛a勺｝中又有S=4^1 +2，可由S二- S 作切入点探索解题的途径. 解: (1＞ 由 S =4a _J , SI” =4a F +2,两式相减，得 S 卜-S=4(a . I -^1 ＞，即 a 卜=4a F - 4a .(根据b的构造，如何把该式表示成 b 与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能 力的训练＞ a _l -2a E =2(a -2a ＞，又 b =a -2a，所以 b =2b 勺① 已知 S：|=4aF+2, a =1, aF+a：|