专题25 勾股定理经典图形考查（试题解析）.docxVIP

专题25 勾股定理经典图形考查 一、经典证明图形 课本证明方法 赵爽弦图 美国总统证法 欧几里得证法 相似证法 直角三角形内切圆证法 二、典例解析 例1. 【2020·浙江金华】如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】解：设OG=PG=x，则EG=2x，BF=AE=x， ∴EF=FG=，AF=x+ ∴AB2=AF2+BF2=，EF2=2x2 ∴=， 故答案为：B. 例2.【2020·河北】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【答案】C. 【解析】解：由勾股定理知，三张纸片的面积应该满足：最大纸片面积等于另外两个纸片的面积和 A. B. C. D.选项中直角三角形的面积分别为： 1、、6、1， 所围成的三角形是面积最大的直角三角形，故答案为：C. 例3.【2020·湖北随州】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　 　个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） ①a2+b2+c2+d2＝　 　； ②b与c的关系为　 　，a与d的关系为　 ． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） （2）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c2=12ab×4+（b﹣a） 化简得：a2+b2＝c2． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2+12ab 化简得：a2+b2＝c2． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即12（a+b）（a+b）=12ab×2+ 化简得：a2+b2＝c2． （2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个； 故答案为3； ②结论：S1+S2＝S3． ∵S1+S2=12π（a2）2+12π（b2）2+ ∴S1+S2=18π（a2+b2﹣c2）+S ∴a2+b2＝c2． ∴S1+S2＝S3． （3）①a2+b2+c2+d2＝m2； ②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m． 故答案为：m2；b＝c，a+d＝m． 三、刻意练习 1. 【2019·浙江温州】如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】解：如图，连接ALGL，PF． 由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝， ∵