专题27 三角形全等、相似有关证明题（试题解析）.docx

专题27 三角形全等、相似有关证明题 一、典例解析 例1.【2020·四川宜宾】如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM=13BE，AN=13 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形 【答案】C. 【解析】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°， ∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE与△ACD中 BC= ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD， ∵BM=13BE，AN= ∴BM＝AN， 在△MBC与△NAC中 BM= ∴△MBC≌△NAC（SAS）， ∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN， ∵∠BCM+∠MCA＝60°， ∴∠NCA+∠MCA＝60°， ∴∠MCN＝60°， ∴△MCN是等边三角形， 故答案为：C． 例2.【2020·上海】已知，如图，在菱形 ABCD中，点E 、F 分别在边AB、 AD上，BE =DF，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF的延长线交BA 的延长线于点H . （1）求证：△BEC ∽△BCH ； （2）如果BE2=AB·AE，求证：AG=DF . 【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB∥CD，BC=CD，∠B=∠D ∵BE=DF ∴△CDF≌△CBE ∴∠DCF=∠BCE ∵CD∥BH， ∴∠DCF=∠H， ∴∠BCD=∠H 又∠B=∠B ∴△BEC∽△BCH （2）∵四边形ABCD是菱形 ∴AB∥CD，AB=CD ∴ 由（1）知，AF=AE ∴ ∴AG·AB=AG·AE+AB·AE AG·AB－AG·AE = AB·AE AG·BE= AB·AE 又BE2=AB·AE， ∴AG·BE= BE2 即AG=BE, 又BE=DF ∴AG=DF. 例3.【2020·湖南常德】已知D 是Rt△ABC 斜边AB 的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D 作Rt△DEF 使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE 并延长CE 到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC 与DE 交于M，PB 与EF 交于N． （1）如图1，当D，B，F 共线时，求证： ①EB＝EP； ②∠EFP＝30°； （2）如图2，当D，B，F 不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°． 图1 图2 【答案】见解析. 【解析】解： 证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， 同理∠EDF＝60°， ∴∠A＝∠EDF＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠DMB＝∠ACB＝90°， ∵D 是Rt△ABC 斜边AB 的中点，AC∥DM， ∴ 即M 是BC 的中点， ∵EP＝CE，即E 是PC 的中点， ∴ED∥BP， ∴∠CBP＝∠DMB＝90°， ∴△CBP 是直角三角形， ∴BE＝PC＝EP ②∵∠ABC＝∠DFE＝30°， ∴BC∥EF， 由①知：∠CBP＝90°， ∴BP⊥EF， ∵EB＝EP， ∴EF 是线段BP 的垂直平分线， ∴PF＝BF， ∴∠PFE＝∠BFE＝30° （2）延长DE 到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ， ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP， ∴△QEP≌△DEC（SAS）， 则PQ＝DC＝DB， ∵QE＝DE，∠DEF＝90° ∴EF 是DQ 的垂直平分线， ∴QF＝DF， ∵CD＝AD， ∴∠CDA＝∠A＝60°， ∴∠CDB＝120°， ∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP， ∴△FQP≌△FDB（SAS）， ∴∠QFP＝∠BFD， ∵EF 是DQ 的垂直平分线， ∴∠QFE＝∠EFD＝30°， ∴∠QFP+∠EFP＝30°， ∴∠BFD+∠EFP＝30°． 例4.【2020·山东烟台】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】见解析. 【解析】解： 【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图所示 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF是等边三