专题31 几何计算之平行四边形相关题型（试题解析）.docx

专题31 几何计算之平行四边形相关题型 一、典例解析 例1.【2020·浙江湖州】四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也随之变化. 如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC’D’，若∠D’AB=30°，则菱形ABC’D’的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B. 【解析】解：过D’作D’E⊥AB于E， ∵∠D’AB=30°， ∴D’E=AD’=BC ∴菱形ABC’D’的面积与正方形ABCD的面积之比是 （AB·D’E）：（AB·BC）=， 故答案为：B. 例2.【2020·浙江杭州】如图，在正方形中，点E在BC边上，连接AE，的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设． （1）若，，求线段CF的长． （2）连接EG，若， ①求证：点G为CD边的中点． ②求的值． 【答案】见解析. 【解析】解： （1）在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠F=∠DAF ∵AG平分∠DAE ∴∠DAF=∠EAF ∴∠EAF=∠F ∴AE=EF 又λ=1， ∴AB=BC=2 ∴BE=CE=1 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=, ∴CF=EF-CE=-1. （2）①∵AE=EF，EG⊥AF， ∴AG=FG ∵∠AGD=∠FGC，∠DAG=∠F， ∴△DAG≌△CFG ∴DG=CG， 即G为CD的中点 ②设CD=2x，则CG=x， 由①知，CF=AD=2x， 由△EGC∽△GFC，得：, ∴CE=x，BE=x， ∴λ=. 例3.【2020·黑龙江哈尔滨】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，OE=1，则线段AE的长为 . 【答案】. 【解析】解： 设BE=x，则OB=OD=x+1，AD=CD=2x， ∵∠DAE=∠DEA， ∴AD=DE， ∴2x=1+x+1，解得：x=2， ∴OD=3，AD=4， ∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ∴在Rt△ADO中，由勾股定理得：OA= ∴AE= 故答案为：. 例4.【2020·甘肃天水】如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　 　． 【答案】2. 【解析】解： 由题意可得，△ADF≌△ABG， ∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠EAB＝45°， ∴∠BAG+∠EAB＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， 在△EAG和△EAF中， AG= ∴△EAG≌△EAF， ∴GE＝FE， 设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x， ∴EF＝3+x， ∵CD＝6，DF＝3， ∴CF＝3， ∵∠C＝90°， ∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2， 解得，x＝2， 故答案为：2. 例5.【2020·四川南充】如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON． （1）求证：AM＝BN． （2）请判定△OMN的形状，并说明理由． （3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为110，请直接写出AK长． 【答案】见解析. 【解析】解：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABM+∠CBM＝90°， ∵AM⊥BM，CN⊥BN， ∴∠AMB＝∠BNC＝90°， ∴∠MAB+∠MBA＝90°， ∴∠MAB＝∠CBM， ∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∴AM＝BN； （2）△OMN是等腰直角三角形， 理由如下：如图，连接OB， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO， ∵∠MAB＝∠CBM， ∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC， ∴∠MAO＝∠NBO， 又∵AM＝BN，OA＝OB， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON， ∵∠AON+∠BON＝90°， ∴∠AON+∠AOM＝90°， ∴∠MON＝90°， ∴△MON是等腰直角三角形； （3）在Rt△ABK中，BK= ∵S△ABK=12×AK×AB=1 ∴AM=AK? ∴BN＝AM= ∵cos∠ABK=BM ∴BM=AB ∴MN＝BM﹣BN= ∵S△OMN=14MN2 ∴y=（0＜x＜1）； 当点K在线段AD上时，则110 解得：x1＝3（不合题意舍去