向量与坐标知识点总结教学提纲.pdf

解析几何复习知识点总结 第一章 向量与坐标 第一节 向量的概念： 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量 的长度或模（ moduius) 。 规定，长度为 0 的向量叫做 零向量 ，记为 0 . 模为 1 的向量称为单位向量。 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量。记为 -a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。 长度为一个单位（即模为 1）的向量，叫做 单位向量 ．与向量 a 同向，且长度为单位 1 的向 量，叫做 a 方向上的单位向量，记作 a 0 ，a 0=a/| a |。 1 共线向量定理 两个空间向量 a, b 向量 (b 向量不等于 0 ）， a ∥b 的充要条件是存在唯一的 实数 λ，使 a= λb 2 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线， 则向量 c 与向量 a ,b 共面的 充要条件 是：存在唯一的一对实 数 x,y, 使 c =ax+ b y 3 空间向量分解定理 如果三个向量 a、b 、c 不共面， 那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x ， y ，z ，使 p =x a +y b +z c 。 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底， 零向量 的表示唯一。 1.2 向量的加法 三角形定则解决向量加减的方法： 将各个向量依次首尾顺次相接， 结果为第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点。 平行四边形定则解决向量加法的方法： 将两个向量平移至公共起点， 以向量的两条边作 平行四边形， 向量的加法 结果为公共起点的对角线。 平行四边形定则解决向量减法的方法： 将两个向量平移至公共起点， 以向量的两条边作 平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。 （平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。） 坐标系解向量加减法： 在直角坐标系里面 ,定义原点为向量的起点 .两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差若向量的表示为 (x,y) 形式 , A(X1,Y1) B(X2,Y2) ，则 A+B= （X1+X2 ，Y1+Y2 ）， A-B= （X1-X2 ，Y1-Y2 ） 简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。 向量加法的 运算律 ： 交换律： a +b =b +a ； 结合律： (a+b )+c =a +( b+ c )。 减法 如果 a 、b 是互为相反的向量，那么 a =-b ，b =- a ，a +b =0. 0 的反向量为 0 OA - OB = BA. 即 “共同起点，指向被 向量的减法 减 ” a=(x,y) b =(x',y') 则 a- b =(x-x',y-y'). 如图： c=a-b 以 b 的结束为起点， a 的结束为终点。 交换律： a+(-b)=a-b 1.3 向量的数乘 实数 λ和向量 a 的叉乘乘积是一个向量 ，记作 λa ，且∣ λa ∣= ∣λ∣* ∣a ∣。 当 λ>0时， λa 的方向与 a 的方向相同； 当 λ<0时， λa 的方向与 a 的方向相反； 当 λ=0时， λa =0 ，方向任意。 当 a =0 时，对于任意实数 λ，都有 λa=0 。 注：按定义知，如果 λa=0 ，那么 λ=0或 a =0 。