莫尔—库伦理论1.docx

莫尔一库伦理论 长期以来，人们根据对材料破坏现象的分析，提出了各种不同的 强度理论。其中适用于土的强度理论有多种，不同的理论各有其优缺 点。在土力学中被广泛采用的强度理论要推莫尔一库伦强度理论。 1773年，法国学者库伦(Coulomb)根据砂土的试验结果，提出土 的抗剪强度T f在应力变化不大的围，可表示为剪切滑动面上法向应 力。的线性函数。即 Tf = a tan p 后来库伦又根据粘性土的试验结果，提出更为普遍的抗剪强度公 式： xf = c + a tan 1936年，太沙基(Terzaghi)提出了有效应力原理。根据有效应力 原理，土中总应力等于有效应力与孔隙水压力之和，只有有效应力的 变化才会引起强度的变化。因此，土的抗剪强度E可表示为剪切破坏 而上法向有效应X的函数。上述库仑公式应改写为 Tf = c‘ + o tan cp; 1910年莫尔(Mohr)提出材料产生剪切破坏时，破坏而上的可是该 而上法向应力的函数，即 该函数在直角坐标系中是一条曲线，如图1所示，通常称为莫尔 包线。土的莫尔包线多数情况下可近似地用直线表示，其表达式就是 库伦所表示的直线方程。由库伦公式表示莫尔包线的土体抗剪强度理 论称为莫尔一库伦(Mohr—Coulomb)强度理论。 图1莫尔包线 1. 土中某点的应力状态 我们先来研究土体中某点的应力状态，以便求得实用的土体极限 平衡条件的表达式。为简单起见，下面仅研究平面问题。 在地基土中任意点取出一微分单元体，设作用在该微分体上的最 大和最小主应力分别为。1和。3。而且，微分体与最大主应力。1作 用平面成任意角度a的平面rrw上有正应力。和剪应力t ［图2(a)］。  (a)(b) (a) 图2 土中任意一点的应力 （a）微分体上的应力；（b）隔离体上的应力 为了建立T与和之间的关系，取微分三角形斜面体QbC为 隔离体[图2 （b） ]o将各个应力分别在水平方向和垂直方向上投影 根据静力平衡条件得 工 x = 0, k ? ? sin a ? 1.0 一 b ? ? sin a ? 1.0 + r ?心? cos a 1.0 = 0(“) 艺)=°。?ds? cos a ? 1.0 一 b ? ? cos a ? 1.0 一「? ? sin a ?L0 = 0(b) 联立求解以上方程@)、(b),即得平面nrn上的应力 7 = — + cr3) + — (^ - ⑴ cos 2a =—(CT] -73)sin2a 由以上两式可知，在和。3己知的情况下，斜截面mn上的法 向应力。和剪应力t仅与斜截而倾角a有关。由式（1）得 上式表示圆心为（晋，0）、半径为今关的莫尔圆。莫尔圆 上任一点代表与大主应力。】作用面成a角的斜面，其纵坐标代表该 而上的法向应力，横坐标代表该面上的剪应力。 在直角坐标系中（图3）以。为横坐标轴.以t为纵坐标轴，按 图3用莫尔应力圆求正应力和剪应力 一定的比例尺，在。轴上截取ob=q3, oc=o”以a为圆心，以a 1-0 3）/ 2为半径，绘制出一个应力圆。并从ac开始逆时针旋转2 a 角，在圆周上得到点A。可以证明，A点的横坐标就是斜面mn上的正 应力。，而其纵坐标就是剪应力丫。事实上，可以看出，A点的横坐 标为 1 1 OB + B0r + 0rA cos 2a = + -(^ — r3) +-(① 一(r3) cos 2a Zj 乙 1 1 =-+ 內)+ - (71 - 6)cos 2a = o 而A点的纵坐标为 —， 1 O1Asin 2a = - (o\ — cr3) sin 2a = 乙 2. 土的极限平衡条件一一莫尔一库伦破坏准则 为了建立实用的土体极限平衡条件，将土体中某点的莫尔应力圆 和土体的抗剪强度与法向应力关系曲线（简称抗剪强度线）画在同一个 直角坐标系中，这样，就可以判断土体在这一点上是否达到极限平衡状态。 由前述可知，莫尔应力圆上的每一点的横坐标和纵坐标分别表示 土体中某点在相应平而上的正应力0和剪应力T ,如果莫尔应力圆位 于抗剪强度包线的下方［图4 (J)］即通过该点任一方向的剪应力T都 小于土体的抗剪强度.，则该点土不会发生剪切破坏，而处于弹性 平衡状态。若莫尔应力圆恰好与抗剪强度线相切［图4 (b)］,切点为 B,则表明切点B所代表的平面上的剪应力T与抗剪强度Tf相等，此 时，该点土体处于极限平衡状态。 图4莫尔应力圆与土的抗剪强度之间的关系 (a)上处于弹性平衡状态；(b) 土处于极限平衡状态 根据莫尔应力圆与抗剪强度线相切的几何关系，就可以建立起土 体的极限平衡条件。 下面，我们就以图5中的几何关系为例，说明如何建立无粘性土 的极限平衡条件 图5无粘性土极限平衡条件推导示意图 O] = a3Un2（45。+子） （2