新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版平面几何最值问题.docx

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有： （ 1）应用两点间线段最短的公理 （含应用三角形的三边关系） 求最值；（ 2）应用垂线段最短的性质求最值； （3 ）应用轴对称的性质求最值； （ 4）应用二次函数求最值； 5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值： 例 1. 如图，∠ MON=90°，矩形 ABCD的顶点 A、B 分别在边 OM，ON上，当 B在边 ON上运动时， A随之在边 OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2， BC=1，运动过程 中，点 D到点 O的最大距离为【 】 A． 2 1 B． 5 C． 145 5 D． 5 5 2 【考点】 【分析】 例 2. 在锐角三角形 ABC中， BC= 4 2 ，∠ ABC=45°， BD平分∠ ABC， M、N 分别是 BD、 BC 上的动点，则 CM+MN的最小值是 。 例 3、如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC中， E、F、G分别为 AB、 AC、 BC的中点，点 P为线段 EF上一个动点，连接 BP、 GP，则△ BPG的周长的最小值是 _ ． 二、应用垂线段最短的性质求最值： 例 4. 在△ ABC中，AB＝ AC＝ 5，BC＝ 6．若点 P 在边 AC上移动，则 BP的最小值是 ． 【考点】 【分析】 例 5. 如图，菱形 ABCD中， AB=2，∠ A=120°，点 P， Q， K 分别为线段 BC， CD， BD 上的任意一点，则 PK+QK的最小值为【 】 A． 1 B． 3 C． 2 D． 3＋1 【考点】 第1页（共 5页） 【分析】 例 6. 如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AC=BC=4， D是 AB的中点，点 E、 F 分别在 AC、 BC边上运动（点 E 不与点 A、 C重合），且保持 AE=CF，连接 DE、 DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△ DFE是等腰直角三角形；②四边形 CEDF不可能为正方形； ③四边形 CEDF的面积随点 E 位置的改变而发生变化； ④点 C到线段 EF的最大距离为 ．其中正确结论的个数 是【 】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】 【分析】 例 8. 如图，△ ABC中，∠ BAC=60°，∠ ABC=45°， AB=2 2 ， D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径画 ⊙ O分别交 AB， AC于 E， F，连接 EF，则线段 EF长度的最小值为 ． 【考点】 【分析】 例 9. 如图所示，在菱形 ABCD中， AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC．CD 上滑动，且 E、 F 不与 B． C．D重合． （ 1）证明不论 、 在 ． 上如何滑动，总有 = ； E F BC CD BE CF （ 2）当点 、 F 在 ． 上滑动时，分别探讨四边形 和△ 的面积是否发生变化？如果不变，求 E BC CD AECF CEF 出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 第2页（共 5页） 例 10. （云南昆明 12 分） 如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°， AB=10cm， AC： BC=4： 3，点 P 从点 A 出发沿 AB方向向点 B运动，速度为 1cm/ s，同时点 Q从点 B 出发沿 B→ C→ A 方向向点 A 运动，速度为 2cm/ s，当 一个运动点到达终点时，另一个 运动点也随之停止运动． （ 1）求 AC、 BC的长； （ 2）设点 P 的运动时间为 x （秒），△ 的面积为 y （ 2），当△ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式， PBQ cm PBQ 并写出自变量 x 的取值范围；（ 3）当点 Q 在 上运动，使 ⊥ 时，以点 、 、 为定点的三角形与△ ABC CA PQ AB B P Q 是否相似，请说明理由； （ 4）当 x=5 秒时，在直线 PQ上是否存 在一点 M，使△ BCM得周长最小，若存在， 求出最小周长，若 不存在，请说明理由． 三、应用轴对称的性质求最值 例 11. 如图，四边形 ABCD中，∠ BAD＝120°，∠ B＝∠ D＝90°，在 BC、 CD上分别找一点 M、 N，使△ AMN 周长最小时，则∠ AMN＋∠ ANM的度数为【 】 A．130° B．120° C．110° D．100° 【考点】 第3页（共 5页） 【分析