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哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 § 8.6 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 1 、曲线由参数方程给出的情形 设空间 L 曲线的参数方程为 L ? ? M ? ? x ? x ( t ) ? ? y ? y ( t ) ? ? z ? z ( t ) ( 1 ) z 假定 (1) 式中的三个函数均可导。 且导数在 M 点不同时为零 . x o M y －理学院工科数学教学中心－ 哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 ? 设 M ( x , y , z ), M ( x ? ? x , y ? ? y , z ? ? z ) 0 0 0 0 0 0 是曲线 L 上的两点 , 且分别 对应于 t ? t 和 t ? t ? ? t . 0 0 ? 的方程为 割线 M M x ? x y ? y z ? z 0 0 0 ? ? ? x ? y ? z 考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程 , z L ? ? M T ? x o M y －理学院工科数学教学中心－ 哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程 上式分母同除以 ? t , z ? ? ? M T M x ? x y ? y z ? z 0 0 0 ? ? , x ? x ? y ? z ? t ? t ? t ? 当 M ? M , 即 ? t ? 0 时 , o y 曲线在 M 处的 切线方程 x ? x y ? y z ? z 0 0 0 ? ? . ? ? ? x ( t ) y ( t ) z ( t ) 0 0 0 －理学院工科数学教学中心－ 哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 切向量： 切线的方向向量称为曲线的切向量 , 如下向量为其中之一 , ? ? ? ? ? ? T ? x ( t ), y ( t ), z t ) 0 0 ( 0 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线 L 在点 M 处 的 法平面 法平面： 过 M 点且与切线垂直的平面 , 即 ? ? ? x ( t )( x ? x ) ? y ( t )( y ? y ) ? z ( t )( z ? z ) ? 0 0 0 0 0 0 0 －理学院工科数学教学中心－ 哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 例 1 求曲线 Γ : x ? ? 0 e cos udu ， y ? 2 sin t ? cos t ， z ? 1 ? e 在 t ? 0 处的切线和法平面方程 . u 3 t t 解 当 x ? 0 , y ? 1 , z ? 2 , t ? 0 时 ， ? ? ? ? 2 cos t ? sin t , z ? ? 3 e ; x e cos t , y t 3 t ? ? ? ( 0 ) ? 2 , z ( 0 ) ? 3 . x ( 0 ) ? 1 , y x ? 0 y ? 1 z ? 2 ? ? , 切线方程 : 1 2 3 法平面方程 : x ? 2 ( y ? 1 ) ? 3 ( z ? 2 ) ? 0 , x ? 2 y ? 3 z ? 8 ? 0 . －理学院工科数学教学中心－ 哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分 特殊情况： ? x ? t ? 此时可把 x 看作参数，即参数方程为 ? y ? y ( t ) ? z ? z ( t ) ? 在 M ( x , y , z ), 即 t = t 0 处， 0 0 0 切线方程为 x ? x y ? y z ? z 0 0 0 ? ? ? ? 1 y ( t ) z ( t ) 0 0 ? y ? y ( x ) 空间曲线方程为 ? , ? z ? z ( x ) 法平面方程为 ? ? ( x ? x ) ? y ( t )( y ? y ) ? z t )( z ? z ) ? 0 0 0 0 ( 0 0 －理学院工科数学教学中心－ 哈 尔