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例说圆锥曲线有关最值问题 中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切， 同时它又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。因此，最值问题历来是各类考试的热点。最值 问题有两个特点应引起重视：①一个最值问题常常覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素 间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想 方法也相当多 （诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。 因此本文拟提供如下常见求法： 1、回到定义 2 2 例 1、已知椭圆 x y 1 ，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆 25 9 5 y 上任一点，求：（1）求 | PA | | PB | 的最小值； P' 4 P Q B （2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。 P" C O A x 略解：（1）A 为椭圆的右焦点。作 PQ⊥右准线于点 Q， | PA | 4 5 则由椭圆的第二定义 e ，∴ | PA | | PB | | PQ | | PB | .问题转化为在 | PQ | 5 4 椭圆上找一点 P，使其到点 B 和右准线的距离之和最小，很明显，点 P 应是过 B 向右 17 准线作垂线与椭圆的交点，最小值为 。 4 （2）由椭圆的第一定义，设C 为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC| ∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| - |PC|) 根据三角形中，两边之差小于第三边，当P 运动到与 B、C 成一条直线时，便可取得 最大和最小值。即-|BC|≤|PB|-|PC|≤|BC|.当 P 到 P"位置时，|PB|-|PC|=|BC|，|PA|+|PB| 有最大值，最大值为 10+|BC|=10 2 10 ；当 P 到 P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB| 有最小值，最小值为 10-|BC|=10 2 10 。 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小 值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过 另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。 例 2、在抛物线y 4x2 上求一点，使它到直线y=4x-5 的距离最短。 解 ： 设 抛 物 线 上 的 点 ( ,4 2 ) P t t ， 点 Ｐ 到 直 线 4x-y-5=0 的 距 离 1 2 4t 2 4t 5 4(t 2) 4 1 4 1 d 当t 时，d min ，故所求点为( ,1) 。 17 17 2 17