2019年最新-lecture0精选文档.ppt

误差的分类（续） 一般数学问题包含若干参量，他们的值往往 通过观测得到，而观测难免不带误差，这种 误差称之为 观测误差 。 4 、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（ M ） 466 741 950 1422 1634 水温（ o C ） 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500 米， 600 米， 1000 米 … ）处的水温 数值分析 误差的分类（续） 由于计算机的字长有限，参加运算的数据及 其运算结果在计算机上存放会产生误差，这 种误差称之为 舍入误差。 例如：在十位十进制下，会出现： 1/3=0.333 333 333 3 舍入误差与机器字长紧密相关 ! 数值分析 截断（方法）误差 : 求解数学模型所用的数值计算 方法如果是一种近似的方法，那么只能得到近似解， 由此产生的误差称为截断误差或方法误差 例 : 近似计算 e dx ? 0 1 2 ? x 将 e -x2 作 Taylor 展开后再积分 4 6 8 x x x ? x 2 e dx ? ( 1 ? x ? ? ? ? ? ) dx ? ? 0 0 2 ! 3 ! 4 ! 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ! 5 3 ! 7 4 ! 9 取 ? e 0 1 ? x 2 dx ? S 4 , S 4 R 4 /* Remainder */ 1 1 1 1 ? ? 则 R 称为 截断误差 /* Truncation Error */ 4 ? ? ? ? 4 ! 9 5 ! 11 1 1 这 里 R 0 . 005 4 ? ? ? 4 ! 9 数值分析 § 1.2.2 误差与有效数字 /* Error Significant Digits */ ? 绝对误差 /* absolute error */ e=x-a , 其中 x 为精确值， a 为 x 的近似值。 | e | 的上限记为 ε ，称为绝对误差限 /* accuracy*/ 工程上常记为 x ＝ a ± ε ，例如： ? e 0 1 2 ? x dx ? 0 . 743 ? 0 . 006 数值分析 Ch 1: Section 1.2--Errors e ? 相对误差 /* relative error */ e r ? x ? 相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 ? r ? | x | 实际应用中，精确解往往无法得到！ 当 较小时，因两者的差为 : e 实际应用中： e r ? a ? ? r ? | a | 思考题 1 ：实际应用中，用 a 取代 x 合理吗？为什么？ （提示：当绝对误差限较小时，两者的差为相对误差限的高阶无穷小量，可以忽略） 数值分析 ? 有效数字 定义：如果近似值 a 的误差限是某一位数的半 个单位， 则称 a 准确到小数点后 n 位，并从第一 个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。 例： π ＝ 3.1415926535, 3.1416 有五位有效数字 , 误差限为 0.00005 。 例： a=0.003400 ± 0.5E-5 近似值准确到小数点后 五位，有三位有效数字。 数值分析 Ch 1: Section 1.2--Errors § 1.2.3 函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/ 问题 ：对于 y = f ( x ) ， u =f( a ), 若用 a 取代 x ，将对 y 产生什么影响 ？ 分析 ： e ( u ) = f ( x ) ? f ( a ) e ( a ) = x ? a = f ( ? )( x ? a ) 中值定理（ Mean Value Theorem ） a 与 x 非常接近时，可认为 f ( ? ) ? f ( a ) ，则有： | e ( u )| ? | f ( a )|· | e