2021(完整版)初三二次函数值问题和给定范围最值.docx

x x 2 PAGE 2 PAGE # 二次函数中的最值问题重难点复习 般地，如果 y ax2 bx c（a,b,c是常数， a 0），那么 y 叫做 x的二次函数 二次函数 yax2 bx c用配方法可化成： y a（x h）2 k 的形式 二次函数 y y a x h 2 k的形式，得到顶点为 （ h, k ） ，对称轴是 x h. y ax2bx c a x2 b 2a24ac b4a∴顶点是 y ax2 bx c a x 2 b 2a 2 4ac b4a ∴顶点是 b ，4ac b2 2a， 4a ，对称轴是直线 b 2a 二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大 （ 小）值。一般而言，最大 （小） 值会在顶点处取得， 达到最大 （小）值时的 x 即为顶点横坐标值，最大 （小）值也就是顶点纵坐标值。 自变量 x 取任意实数时的最值情况 b 4ac b 1）当 a 0 时，函数在 xb 处取得最小值 1）当 a 0 时，函数在 x 2a 4a b 4ac b （2）当 a 0 时，函数在 x b 处取得最大值 ，无最小值． 2a 4a （3）二次函数最大值或最小值的求法． 第一步：确定 a 的符号， a 0有最小值， a 0有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2. 自变量 x 在某一范围内的最值． 2 如： y ax2 bx c 在 m x n（其中 m n ）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴： x x0 b ； 2a 第二步：讨论： 若 a 0时求最小值（或 a 0时求最大值），需分三种情况讨论： （以 a 0时求最小值为例 ） 2 ①对称轴小于 m即 x0 m ，即对称轴在 m x n 的左侧，在 x m处取最小值 ymin am bm c； 2 ②对称轴 m x0 n ，即对称轴在 m x n的内部，在 x x0处取最小值 ymin ax0 bx0 c ； ③对称轴大于 n即 x0 n ，即对称轴在 m x n 的右侧，在 x n处取最小值 ymin an2 bn c. 若 a 0时求最大值（或 a 0时求最小值），需分两种情况讨论： （以 a 0时求最小值为例 ） ①对称轴 x0 m n ，即对称轴在 m x n 的中点的左侧，在 x n处取最大值 ymax an2 bn c ； 2 ②对称轴 x0 m n ，即对称轴在 m x n 的中点的右侧，在 x m 处取最大值 ymax am2 bm c PAGE PAGE # 小结： 对二次函数的区间最值结合函数图象 总结 如下： 当 a 0时 f (x)maxbf (m)， 2ba1(m2n)(如图1)f (n) 当 a 0时 f (x)max b f (m)， 2ba 1 (m 2 n)(如图1) f (n)， 2ba 1(m 2 n)(如图2) f(x)min f(n)， b n( 如图3) 2a f( b )， m b n(如图 4) 2a 2a f(m)， b m( 如图5) 2a 当 a 0时 f (x) max f (n)， 2ba n( 如图6) f( b )，m b n(如图7) f (x)min 2a 2a f (m)， b m(如图8) f(m) ， f(n) ， b 2ab2a 1(m n)(如图9) 2 1(m n)(如图10) 2 另法： y ax2 bx c(a 0) 当 m x n (其中 m n )的最值 求出函数的对称轴 x x0 b ，在以后的数学学习中 2a ①若 m x0 n ，则分别求出 m, x0, n处的函数值 f(m)， f(x0)， f(n)，则三函数值最大者即最大值，最小者即为 最小值； ②若 x0 m或x0 n时，则求出 m, n处的函数值 f (m)， f(n) ，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。 基础巩固 : 将下列函数写成顶点式 , 并写出对称轴和 顶点坐标 (1) y 2x2 (1) y 2x2 4x 5 ； (2) y (1 x)(x 2) (3) y 2x2 3x 5 y x2 y x2 x 1 2 y x2 4x 2 2 y ax 4ax 1 例 例 1. 求下列函数的最大值或最小值． 1) y 2x2 3x 1) y 2x2 3x 5； 22 x2 3x 4 ．(3)y 2x2 4ax 1 2 4) y ax2 2x (5) y 8x2 4x 6 49 25 例 1（ 1） 最小值为 无最大值；（ 2）最大值为 ，无最小值 84 练习 : 求下列函数的最大值或最小值 2 y x2 4x 1 y 2x2 4x y x2 2ax y ax2 4x 2 a (5) y 2 x2 4x 的