1996年数二真题及解析.docx

1996年理工数学二试题 、填空题 G）微分方程” + 2r'+5v = 0的通解为 liin.Y sin hi 1 + — - siii hi 1 + — = . xk I x丿 V工丿」 由曲线v = x + = 2及甘=2所圉图形的面积3= 二、选择题 〔1)设当.v->0时，(ox'+Zn + l)杲比+高阶的无穷小，贝I」 CA)朴二丄』= 1. (B) d = Lb = l 2 (C) a = -—.Z> = -1 (D) a = -Li = 1 2 (2)设函St/(i)在区间(―尻叭内有定义，若当xe(-5.^)时，恒有|/(x)|<.vS则.20 必是/(r) (蠱)间断点一 (B)连续而不可导的点 (C)可导的点.且/(0) = 0 (D)可导的点* /(0)#0 <3)设/(X)处处可导.则 当 lim /(x) = -<§必有 lim /' (x) = -z. 当lim f (工)=,必有lim才(斗)二一迄 HT-od 4 -- 兀T-oo ° 当 lim /(x) = -hx>?必有 lim / (.x) = y 当 lim / (x) = -Ko.,必有 lim f(x) = TT+od ’ -- 兀T+e 匸 （4）在区间（Y\*o）内，方程卜卩+|.Yp-COS.Y = 0 （A）无实根. （B）有且仅有一个实根 （C）有且仅有两个实根 （D）有无穷多个实根 （5）设/（x）.g（x）在区间［eb］上连续，且g（x）＜ （山为常数），由曲线 y = g(.v),y = /(.v).x = aRx = b所围成平面图形绕直线y =川旋转而成的旋转体积为 (A)￡^[2?n-/(.v) + g(.Y)][/(.v)-g(x)]rfY. (C) ￡^[7//-/(.Y)+ g(.Y)][/(.X)-g(.X)]rfY, ⑵求J占J 1 + Sill XX =⑶设V? ⑵求J占 J 1 + Sill X X = ⑶设 V ? :f f（l/2 }dll 12 ° 了，其中/（町具有二阶导数，且/（〃）hO,求仝. 十（尸）］ 旅 1 — x ⑷求函数/（*） = ——在?Y = 0点处带拉格朗日型余项的〃阶泰勒展开式. 1 + X （5） 求微分方程y^y=x2的通解. 0<a <（6） 设有一正椭圆柱体? H底而得长、短分别为la.lb. 0<a < 的平面截此柱体，得-?楔形体（如图），求此楔形体的体枳/? 四、 计算不定积分 1-2.y2,x<-1 五、 设函数/(") = { .0,-15.丫<2 12.r-16,.r>2 写出/(X)的反函数g(X)的表达式； g(.Y)是否有间断点、不可导点，若有,指出这些点. 六、设函数y = y(x)由方程2/-2r2 + 2.n-x2= 1所确定，试求y=y(.v)的驻点，并判别 它是否为极值点. 七、 设/(x)在区间对上具有二阶导数，且/(d) = /(b) = 0J'(d)/'(b)>0,证明: 存在gw(a,b)和〃 w(d.b),使/(孑)=0及/*(7/) = 0. 八、 设/(.丫)为连续函数， ( V + OV = f(x) ? 的解/(X)，其中d是正常数； (2) 若|/(x)|<Ar (A■为常数)，证明：当20时，有卜(丫)|<￡(1 一严)? 答案解析 (1) 【答】1. 3 ( 」寸 【详解】 >'=X +盘2 I ) 所以V =丄* Z 3 ⑵ 【答】2. 【详解】 ￡jx +Vl-*2 jrfv =J：(a* +2xJ\-F +1一天[ =J 12xjl - x2 + j ] dx =0+2=2 y = e~x ( C\ cos 2x -F C\ sill 2x ). 【洋解】 特征方程zl2 + 2/ + 5 = 0的解为A=-l±2it 所以通解为 y =尹(QCOS2X + C\ sin 2x) (4) TOC \o "1-5" \h \z 【答】 2. 【详解】方法 令丄=人则由洛必达法则知 原式= sin In (1 十 3r)- sin In (1 + r) lim = r->0 t 『 3J + 3/=lim cos In (14- 3r) ? - cos In (1 + r) ? 『 3 J + 3/ 方法二： 直接利用三角函数和差化积公式. 原式= r 1+- lini2xsin111—1+— lini2xsin 111— 1+— Ill cos— ( ?Ill ( ? Ill =lim 2x sill — x->? =lim 2x-sin XTOO x + 1 (5) 【答】应选（A） 【详解】 方法一： 由于x —> 0时丫 ex =l + x+—x2 +o（x2 (1 \ ,