高等数学：BIT8-2(直角坐标）.ppt

一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结 作 业 习题8-2 1（2）（6）（8）； 2（1）（4） 3（2）（4） 4（2） * 第二节 二重积分的计算 一 直角坐标系中的计算方法 二 极坐标系中的计算方法 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. ［Y－型］ 计算二重积分的基本思想：化为两次定积分 Y型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 由重积分几何意义推导计算公式 在区间[a，b]内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形： 底为 高为 x 其面积为 所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得 o x y a b z D 于是，得二重积分的计算公式： 如图： o x y a b D x 区间[a,b]是x的取值范围。 在此区间内任取一点x，过该点自下而上作一条平行于y轴的射线， 先穿过的边界 是y的积分下限， 解题步骤：（1）画区域D图形（2）定限 （3）计算 后穿过的边界 是y的积分上限。 “平行线穿越法”定限 入口线--------下限 出口线--------上限 内限是外积分变量的函数 计算内积分时，把外积分变量视为常数 先积线，后积点 如果积分区域为： ［X－型］ X型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 非X型和Y型区域： 如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定. 若D为（X型）： 若D（Y型）： 求二重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（累次积分） （总结）具体计算的步骤： 1. 按题意画出积分区域的草图； 2. 判定积分区域是X型，Y型或必须分块处理； 3. 将二重积分化为二次积分（即两个定积分）； 注： 是否需要改变积分次序？ （要掌握改变积分次序的方法） 1: 二次积分计算麻烦 需要交换积分次序的几种情况: 2: 积分区域分片多 3: 被积函数的原函数不能采用初等函数表示 4: 题意要求交换积分次序. 例1 计算 D为直线 与抛物线 所围的区域。 不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。 法一 先y后x。 解： 积分区域D如图。 1 o x y D 将积分区域投影到x轴上，得到x的范围[0，1]. 在[0，1]上任取一点x， 过该点作一条平行于y轴的射线， x 先穿过的边界 作y的积分下限， 后穿过的边界 作y的上 限，这样就有 所以 法二 o x y D 将积分区域投影到y轴上，得到y的范围[0，1]. 1 在[0，1]上任取一点y， 过该点作一条平行于x轴的射线， y 则先穿过的边界 为x的下限， 后穿过的边界 为x的上限， 于是 所以 注意：在二重积分的计算中，有时积分次 序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注 意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择 恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。 例2 将 化成二次积分， 其中D由 围成。 解：解方程组 得这条直线和抛物线的交点为 (8,4),(2,-2)，如右图。 o x y 1）先对y后对x积分： 8 得 所以 o x y 2）先对x后对y积分： 得 如图。 -2 4 所以 小结：显然1）较2）麻烦。 例3 计算 其中D由 围成。 解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如右。 o x y 1 先对x后对y积分： 注意：若先对y后对x积分： 的原函数无法用初等函数表示出来，因而此二重积分不能计算出来。 例4 交换下列二重积分的积分次序： 解：这是先对y后对x的积分，积分区域为 可知积分区域由 所围成，如下图： o x y 1 2 -2 故改变积分次序后得 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） ［X－型］ ［Y－型］ 思考题 思考题解答 * * * *