高考数学（江苏版）一轮配套课件：第十九章　推理与证明（数学归纳法）.pdfVIP

高考数学 第十九章　推理与证明(数学归纳法) 知识清单 1.由一系列有限的特殊事例 出一般结论的推理方法叫归纳法. 2.数学归纳法 * (1)当n取第一个值n (n ∈N)时,证明命题成立; 0 0 * (2)假设 当n= k(k ∈N,k ≥n )时命题成立,并证明当n= k+1 时,命题也成立. 0 * 于是对一切n ∈N,n ≥n ,命题都成立. 0 这种证明方法叫做数学归纳法. 运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础,第二步是 递推的依据,这两步缺一不可. 方法方法技巧 方法 数学归纳法 以数列 、不等式等知识为载体,融分类讨论 、等价转化等数学思想方法 于其中,或者要求先进行不完全归纳,猜测出结论,再运用数学归纳法进 行证明,这是高考对本部分知识命制试题最常用的形式. 例    (2016江苏南通高三调研)已知函数f (x)=x(sin x+ cos x),设f (x)为 0 n f n-1 * (x)的导数,n∈N . (1)求f (x),f(x)的表达式; 1 2 (2)写出f (x)的表达式,并用数学归纳法证明. n 解析　(1)因为f (x)为f (x)的导数, n n-1 所以f (x)=f (x)=(sin x+ cos x)+x(cos x-sin x) 1 0 =(x+1) cos x+(x-1)(- sin x), 同理,f(x)=-(x+2) sin x-(x-2)cos x. 2 (2)由(1) f (x)=f (x)=-(x+3)cos x+(x-3) sin x, 3 2 把f (x),f(x),f(x)分别改写为 1 2 3 f (x)=(x+1) sin +(x-1)cos , 1 f (x)=(x+2) sin +(x-2)cos , 2 f (x)=(x+3) sin +(x-3)cos , 3 猜测f (x)=(x+n) sin +(x-n )cos (*). n 下面用数学归纳法证明上述等式. (i)当n=1 时,由(1)知,等式(*)成立; (ii)假设 当n=k 时,等式(*)成立, 即f (x)=(x+k) sin +(x-k)cos . k 则当n=k+1 时, f (x)=f (x) k+1 k = sin +(x+ k)cos + cos +(x-k) =(x+k+1) cos +[x-(k+1)] ÎÒÈ¥ ÎÒÈ¥ =[x+(k+1)] sin +[x-(k+1)]cos , 即当n=k+1 时,等式(*)成立. * 综上所述,当n∈N 时,f(x)=(x+n) sin +(x-n )·cos 成立. n