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8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
素养目标
学法指导
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)
3.能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)
1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积时,要充分利用侧面展开图与原几何体的关系;
2.求体积时,要准确把握底面积和高,尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.
知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体____的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的____的面积的和.
知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱=Sh
S为棱柱的____,h为棱柱的____
棱锥
V棱锥=eq \f(1,3)Sh
S为棱锥的____,h为棱锥的____
棱台
V棱台=eq \f(1,3)(S′+eq \r(S′S)+S)h
S′,S分别为棱台的____,h为棱台的____
[知识解读] 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
2.对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出,等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V=Sheq \o(――→,\s\up7(S′=S))V=eq \f(1,3)(S′+eq \r(S′S)+S)heq \o(――→,\s\up7(S′=0))V=eq \f(1,3)Sh.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”,还原为棱锥,采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.
题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
典例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积.
[分析] 利用体对角线的长求出底面对角线长,由此求出菱形的边长.
[归纳提升] 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
【对点练习】? 已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示,求它的侧面积、表面积.
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
典例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥B1-ABC的体积为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),4)
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2.求其体积.
[分析] 利用体积公式计算求解.
【对点练习】? 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为____.
题型三 求体积的等积法与分割法
典例3 (1)如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.
[分析] (1)适合用等积法;(2)适合用分割法.
[归纳提升] 求几何体体积的常用方法
公式法
直接代入公式求解
等积法
例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可
补体法
将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,三棱柱补成四棱柱等
分割法
将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积
【对点练习】? 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距离d.
忽略对侧面展开图的分类讨论而致错
典例4 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm,宽为6 cm的矩形,求此正三棱柱的体积.
[错解] 由题知正三棱柱的底面周长为9 cm,宽为6 cm,则底面等边三角形的边长为3 cm.
∴S底面=eq \f(1,2)×3×3×eq \f(\r(3),2)=eq \f(9\r(3),4)(cm2).
∴V正三棱柱=Sh=eq \f(9\r(3),4)×6=eq \f(27\r(3),2)(cm3).
[错因分析] 若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形,其长和宽都可能是正三棱柱的
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