2021第讲双层规划.ppt

双层规划 及其应用 Bi-Level Programming 最为常见 且得到广泛研究与应用的多层规划是 双层规划 问题，即考虑 只有两层决策者 的情形。 这是因为 现实的决策系统 大都 可以看成 双层决策 。 例如：中央和地方，公司和子公司，工厂的厂 部和车间，高校的校部和院所等。实际上任何多 层决策系统都是一系列双层决策系统的复合。 双层规划： 双层规划是双层决策问题的数学模型，它是一 种具有双层递阶结构的系统优化问题，上下层 问题都有各自的目标函数和约束条件。上层问 题的目标函数和约束条件不仅与上层决策变量 有关，而且还依赖于下层问题的最优解，而下 层问题的最优解又受上层决策变量的影响。 二、双层规划的特点 双层规划问题一般具有如下几大特点： ? 层次性 —— 系统分层管理，下层服从上层，但 下层有相对的自主权 （举例说明）。 ? 独立性 —— 各层决策者各自控制一部分决策变 量，以优化各自的目标 （举例说明） 。 ? 冲突性 —— 各层决策者有各自不同的目标，且 这些目标往往是相互矛盾的 （举例说明） 。 ? 优先性 —— 上层决策者优先做出决策，下层 决策者在优化自己的目标而选择策略时，不 能改变上层的决策 （举例说明） 。 ? 自主性 —— 上层的决策可能影响下层的行为， 因而部分地影响下层目标的实现，但上层不 能完全控制下层的选择行为，在上层决策允 许范围内，下层有自主决策权 （举例说明） 。 ? 制约性 —— 下层的决策不但决定着自身目标 的实现，而且也影响上层目标的实现，因此 上层在选择策略优化自己的目标时，必须考 虑到下层可能采取的策略对自己的不利影响 （举例说明） 。 ? 依赖性 —— 各层决策者的容许策略集通常是 不可分离的，形成一个相关联的整体 （举例 说明） 。 三、双层规划模型的基本形式 其中 由下述规划求得 ) ( x y y ? ) , ( min y x x F 0 y x G ? ) , ( . . t s （ U ） ) , ( min y x y f 0 y x g ? ) , ( . . t s （ L ） 上层决策者通过设置 的值 影响 下层决策 者。下层决策变量 是上层决策变量的 函 数 ，即 , 这 个函数一般被称为反 应函数。 x y ) ( x y y ? ? 一般来说，双层规划模型具有如下形式 与一般的数学规划不同，即使当 和 都是连续函数，并且上下层的约束集合是有 界闭的，双层规划也可能没有最优解。 G f F , , 假设上层选择了点 ，那么下层面临的是以 为参数的简单最小值最优化问题。在有些情 况下，对固定的 ，下层对应的 最优问题可能 包含不止一个最优解 。 x x x g 什么情况下会有 这种问题？？ 如：如果所有的函数都是 线性的 ，很可能当 固定的下层问题的所有最优解组成一个 集 ，这意味着 中的任何一点对下层是 无差别的，但对上层的目标函数可能会有差别。 上层最优解可能只在 中某个特定点上达到， 但是没有办法使下层更愿意选择该点。 X X ? ) ( x y ) ( x y ) ( x y 线性 ，就是指 y=ax+b 这种形式，往往指的就 是一次。 线性问题 ，往往是比较“良好”的问题，因 为它们形式简单，易求解。如果有误差，因 为是线性的缘故也比较容易估计。常见的线 性问题有匀速直线运动 、商品折扣等。 非线性 ，就是指并非一次的其他情况。 ? 双层规划分类 线性双层规划： 所有目标函数和约束全为线性 函数 非线性双层规划： 上下层目标函数和约束中至 少有一个非线性函数 相应的有整数线性双层规划、整数非线性双层 规划等 求解双层规划问题是非常困难的。 原因 : 双层规划问题是一个 NP-hard （ non-deterministic polynomial ， 缩写 NP ） 问题。 双层规划的 非凸性 。 四、双层规划计算的复杂性 即使能找出双层问 题的解，通常也只 可能是局部最优解 而非全局最优解。 ？ ? NP-hard ，其中的 NP 是指非确定性多项式（ non- deterministic polynomial ，缩写 NP ）。所谓的非确 定性是指，可用一定数量的运算去解决 多项式时 间 内可解决的问题。 NP 问题通俗来说是其解的 正确性能够被“很容易检查”的问题，这里“很 容易检查”指的是存在一个多项式检查算法。 ? 例如，著名的推销员旅行问题（ Travel Saleman Problem or TSP ）：假设一个推销员需要从香港出 发，经过广州，北京，上海， … ，等 n 个城市， 最后返回香港。 任意两个城市之间都有飞机直达， 但票价不等。假设公司只给报销 C 元钱，问是否 存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而