专题01嵌套函数问题.docx

专题 01 嵌套函数问题 嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数 . 一般地，对于定义在区间 D 上的函数 y f (x) D , 使得 f ( x0 ) x0 , 则称 x 是函数 y f (x) （ 1）若存在 x0 0 的一阶不动点 , 简称不动点；（ 2）若存在 x0 D , 使 f ( f (x0 )) x0 , 则称 x0 是函数 y f (x) 的二阶不动点 , 简称稳定点 . 类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题 典例 1 A x | f x x ， B x | f f x x . （1） 求证： A B ； （2） 若 f x ax2 1 a R, x R ，且 A B ，求实数 a 的取值范围； （3） 若 f (x) 是 R 上的单调递增函数， x0 是函数的稳定点，问 x0 是函数的不动点吗？ 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由. 【答案】（ 1）见解析（ 2） 1 , 3 （3）是 4 4 【解析】解：（ 1）若 A ，则 A B 显然成立；若 A ，设 t A ， f t t, f f t f t t ， t B，故 A B. A , ax2 1 x 有实根， a 1 . 又 A B ，所以 a ax2 2 1 x ， （ 2） 1 4 即 a 3 4 2 2 x a 1 0 2 的左边有因式 ， 从而有 ax2 x 1 a2 x2 ax a 1 0 . A B ， a2 x2 ax a 1 0 要么没有实根，要么实根是方程 ax2 x 1 0 的根 . 若 a2 x2 ax a 1 0 没有实根，则 a 3 ； 4 若 a2 x2 ax a 1 0 有实根且实根是方程 ax2 x 1 0 的根，则由方 ax2 x 1 0 ， 得 a2 x2 ax a ，代入 a2 x2 ax a 1 0 ，有 2ax 1 0 . 由此解得 x 1 ， 1 3 ，故 a 的取值范围是 1,3 . 2a 再代入得 1 1 0 ，由此 a 4a 2a 4 4 4 （ 3）由题意： x0 是函数的稳定点 , 则 f ( f (x0 )) x0 ， ① 若 f (x0 ) x0 ， f (x) 是 R 上的单调增函数， 则 f ( f (x0 )) f (x0 ) ，所以 x0 f (x0 ) ，矛盾 . ② 若 x0 f (x0 ) ， f (x) 是 R 上的单调增函数，则 f (x0 ) f ( f (x0 )) ，所以 f (x0 ) x0 ，矛盾 故 f (x0 ) x0 ， 所以 x 是函数的不动点 . 0 类型二 嵌套函数中零点个数问题 典 例 2 若 函 数 f x x3 ax2 bx c 有 极 值 点 x ， x ，且 f x 1 x ，则关于 x 的 方程 1 2 1 3 f x 2 2af x b 0的不同实根的个数是 学 _科网 【答案】 3 【解析】函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x ， x ，说明方程 f (x) 3x2 2ax b 0 的两根为 x ， 1 2 1 x2 ，∴方程 3 f 2 2af x b 0 的解为 f (x) x 1或 f (x) x 2 ，若 x1 x2，即 x 1是极大值点， x 是2 x 极小值点，由于 f x1 x1 ，∴ x1 是极大值， f (x) x1 有两解， x1 x2 ， f (x) x2 f (x1 ) 只有一解， ∴此时只有 3 解，若 x1 x2 ，即 x1 是极小值点， x2 是极大值点，由于 f x1 x1 ，∴ x1 是极小值， f (x) x1 有 2 解， x1 x2 ， f (x) x2 f (x1 ) 只有一解，∴此时只有 3 解 . 类型三 嵌套函数中参数问题 典例 3 f x x2 2ax a 1, x 0, g x x2 1 2a . 若函数 y f g x 有 4个零 已知函数 { ln x , x 0, 点，则实数 a 的取值范围是 . 【答案】 【解析】令  5 1 ,1 1, 2 f t 0, t g x 当 1 a 0 时 f t 有两个零点 t1 1,t2 1，需 1 2a 1 a 1 当 1 a=0 时 f x 有三个零点， t1 1,t2 0, t3 =2 ， 1 2a 1 所以函数 y f g x 有 5 个零点， 舍； 当 1 a 0 时，由于 1 2a 1 4a2 ，且 a a2 a 1 1 2a 5-1 所以 4a 4 0 ，所以 a 1 2 综上