(完整)四年级等差数列求和.docx

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋ 2＋ 3＋ 4＋, ＋ 99＋ 100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：  5050。高斯为什 1＋ 100＝ 2＋ 99＝ 3＋ 98＝ , ＝49＋ 52＝ 50＋ 51。 1～ 100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （ 1+100）× 100÷ 2＝5050 。 小高斯使用的这种求和方法， 真是聪明极了， 简单快捷，并且广泛地适用于 “等差数列 ” 的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一 项）叫末项，如果一个数列从第二项起， 每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列 叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷ 2 末项＝首项＋公差×（项数－ 1） 项数＝（末项－首项）÷公差＋ 1 例 1：计算下列数列的和 1） 1，2， 3， 4， 5，, ， 100； 2） 8，15， 22， 29，36，, ， 71。 其中（ 1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列； （ 2）是首项为 8 ，末项为 71，公差为 7 的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项 +末项）×项数÷  2 随堂小练： 计算等差数列  1，3， 5， 7， 9，, ， 99  的和 例 2：计算下面数列的和 1＋ 2＋ 3＋ , ＋1999 分析：这串加数 1， 2， 3，, ， 1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999 个数。由等差数列求和公式可得 解：原式 =（ 1＋1999）× 1999 ÷ 2＝1999000 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例 3： 计算下面数列的和 11＋ 12＋ 13＋ , ＋31 分析：这串加数 11， 12， 13，, ， 31 是等差数列，首项是 11，末项是 31，共有 31-11 ＋1＝ 21（项）。 解：原式 =（ 11+31）× 21÷ 2=441 在利用等差数列求和公式时， 有时项数并不是一目了然的， 这时就需要先求出项数。 根 据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数 =（末项 -首项）÷公差 +1， 末项 =首项 +公差×（项数 -1）。 例 4：计算下面数列的和 3＋ 7＋ 11＋ , ＋99 分析： 3， 7， 11，, ， 99 是公差为 4 的等差数列， 项数 =（ 99－ 3）÷ 4＋ 1＝ 25 解：原式 =（ 3＋99）× 25÷ 2＝1275 例 5 ：求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。 解：末项 =25＋ 3×（ 40-1）＝ 142 ， 和 =（ 25＋ 142）× 40÷ 2＝ 3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式， 也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 随堂小练： 1）求等差数列： 1、 3、 5、 7、 9 它的第 21 项是多少 ? 2）求等差数列： 2、 6、 10、14、 18 它的第 60 项是多少 ? 例 6：已知数列 2、5、 8、 11、 14 35，这个数列共有多少项？ 分析：第 2 项比首项多 1 个公差，第 3 项比首项多 2 个公差，第 4 项比首项多 3 个公差 ， 那第 n 项比首项多 （ n-1)个公差。可根据， 项数 =（末项－首项） ÷公差 + 1 进行计算，（ 35-2）÷3+1=12。所以，这个数列共有 12 项。 由此可知： 项数 =（末项－首项）÷公差 + 1 随堂小练： （ 1）有一个等差数列： 1、3、 5、 7、 9 99，这个等差数列共有多少项？ （ 2）有一个等差数列： 2、5、 8、 11 101，这个等差数列共有多少项？ 例 7：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。 问：（ 1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（ 2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目为 1、3 、5、 7、 9 等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （ 1＋3＋ 5＋, ＋ 15）× 12 ＝［（1 ＋15）× 8÷ 2］× 12 ＝ 768 （平方厘米） 2）火柴棍的数目为 3＋ 6＋ 9+, +24 ＝（ 3＋ 24）× 8÷ 2=108（根）。 答：最大三角形的面积是 76