【配套Word版文档】第五章5.3.docx

东方工昨莖核Z §5.3平面向量的数量积 2014 高 考 会 这 样 考查两个向量的数量积的求法； 2.利用两 个向量的数量积求向量的夹角、向量的模;3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直. 个向量的数量积求向量的夹角、向量的模; 方法； 方法；2?理解数量积的运算性质； 3?利用数量积解决向量的几何问题. 方法； 方法；2?理解数量积的运算性质； 3?利用数量积解决向量的几何问题. 血｝车方工咋衰核金备棵 A % 复 习 备考 要 这 样做 1?理解数量积的意义, 掌握求数量积的各种 东芳工咋堂核2备裸纽制作 两个向量的夹角 定义： 已知两个非零向量 a和b,作OA= a,觅 =b,则/ AOB称作向量a和 向量b的夹角，记作〈a, b>. 范围： 向量夹角〈a, b>的范围是［0,冗］且〈a, b> =〈 b, a>. 向量垂直： 如果〈a, b>= j,贝U a与b垂直，记作a丄b. 向量在轴上的正射影 已知向量a和轴I，作OA = a,过点O, A分别作轴I的垂线，垂足分别为 Oi, Ai,则向 伍F牟芳工作愛樓z备课纽制作 * 宾x^x 量OiAi叫做向量a在轴I上的正射影(简称射影)，该射影在轴I上的坐标，称作 a在轴I 上的数量或在轴I的方向上的数量. OA = a在轴I上正射影的坐标记作 ai,向量a的方向与轴I的正向所成的角为 则由三 角函数中的余弦定义有 aI = |a|cos 0. 向量的数量积 平面向量的数量积的定义: |a||b|cos〈 a， b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a ?，即a b= |a||b|cos〈a, b>. 向量数量积的性质： ①如果 e是单位向量，则 a e= e a = |a|cos〈 a, e〉; a丄 b? a b= 0; a a= |a| (2012聊城模拟)已知a (2012聊城模拟)已知a丄b, |a|= 2, |b|= 3，且3a + 2b与 七—b垂直，则实数 入的值为 3 cos〈a，b>=琵(|a||b|M 0)； |a b|__w __|a||b|. 数量积的运算律： ①交换律：a b = b a. 分配律：(a+ b) c= a c+ b c. 对入€ R, ?(a b)=(七)b= a ( %). 数量积的坐标运算 设 a= (ai, a2), b= (bi, b2)，则 a b= aibi+ a2b2 ； a _L b? a^bi + a2b2= 0； aibi+ a2b2|a|= \./a2 aibi+ a2b2 迹〈a，b〉= 一ai+ a2 ? ,bi+ b2 ［难点正本疑点清源］ 1.对两向量夹角的理解 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起 点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角. ⑵两向量夹角的范围为［0, n,特别当两向量共线且同向时，其夹角为 0，当共线且 反向时，其夹角为 东看工咋窒核心备课纽制件 2 .向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有 关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围. 3.数量积与实数积的区别 若a、b为实数，且 a b= 0,则有a= 0或b = 0，但a b= 0却不能得出 a= 0或b= 0. 若a、b、c€ R，且0,则由ab= ac可得b= c,但由a b= a c及a*0却不能推出 b= c. 若a、b、c€ R,则a(bc)= (ab)c(结合律)成立，但对于向量a、b、c,而(a b) c与a (b c) 一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的. 若a、b€ R,则|a b|=|a||b|,但对于向量 a、b,却有|a b|w|a||b|,等号当且仅当 a// b 时成立. 东方工咋鱼桂心备裸纽剧冷 东方工咋鱼桂心备裸纽剧冷 东方工咋鱼桂心备裸纽剧冷 东方工咋鱼桂心备裸纽剧冷 解析 由a丄b知a b= 0.又3a+ 2b与?a- b垂直, ? (3a + 2b) (?扫—b) = 3 ?a2- 2b2 =3 入X 22 - 2 X 32 = 0.「.冶 |. 已知a= (2,3), b = (-4,7)，贝U a在b方向上的投影为 答案 .65 5 解析设a和b的夹角为0, |a|cos 0=旧|-^匕 解析 |a||b| — (2011 辽宁)已知向量 a = (2,1), b= (- (2011 辽宁)已知向量 a = (2,1), b= (- 1, k), a (2a- b) = 0，贝U k 等于 A . - 12 C. 6 D. 12 答案 D 解析由已知得a (2a- b) = 2a2- a b =2(4 + 1) — (— 2+ k)= 0