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习题 1.1
1.证明 3为无理数.
2
证 若 3不是无理数,则 3 p , p ,q 为互素自然数.3 p 2 , p 2 3q 2 .3除尽p 2 ,
q q
必除尽p ,否则p 3k 1或p 3k 2.p 2 9k 2 6k 1, p 2 9k 2 12k 4,3除
p 2 将余1.故p 3k ,9k 2 3q 2 ,q 2 3k 2 ,类似得3除尽q .与p ,q 互素矛盾.
2.设p 是正的素数, 证明 p 是无理数.
2
证 设 p a ,a ,b 为互素自然数,则p a2 ,a 2 pb 2 ,素数p 除尽a 2 ,故p 除尽a ,
b b
2 2 2 2 2
a pk .p k pb , pk b .类似得p除尽b.此与a,b为互素自然数矛盾.
3.解下列不等式 :
(1) | x | | x 1| 3.\;(2) | x 2 3| 2.
解 (1)若x 0, 则x 1x 3,2x 2, x 1,(1,0);
若0 x 1, 则x 1x 3,1 3,(0,1);
若x 1,则x x 1 3,x 3/ 2,(1,3/ 2).
X (1,0) (0,1) (1,3/ 2).
2 2 2
(2) 2 x 3 2,1 x 5,1 | x | 5,1 | x | 5, x (1, 5) ( 5, 1).
4.设a,b为任意实数,(1)证明| a b || a | | b |;(2)设| a b |1, 证明| a || b | 1.
证(1) | a | | a b (b) || a b | | b | | a b | | b |,| a b || a | | b | .
(2) | a | | b (a b) || b | | a b || b | 1.
5.解下列不等式:
(1) | x 6 | 0.1;(2) | x a |l .
解(1)x 6 0.1或x 6 0.1.x 5.9或x 6.1.X (, 6.1) (5.9, ).
(2)若l 0, X (a l, ) (, a l); 若l 0, x a; 若l 0, X (, ).
a 1
n
6.若a 1,证明0 a 1 ,其中n为自然数.
n
n
n n n n1 n2 n
证若a 1,显然 a b 1.a 1 a 1 ( a 1)(b b 1) n( a 1).
7.设(a,b)为任意一个开区间, 证明(a,b)中必有有理数.
n
证取自然数n 满足1/10
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