2020年届高中高三文理数学一轮复习总结计划《基本不等式》专题测试教师版本.docx

《基本不等式》专题 题型一 基本不等式的判断 1．下列不等式一定成立的是 ( ) 1 1 A ． lg x2＋ 4 lg x(x0) B． sin x＋ sin x≥ 2(x≠ kπ，k∈ Z) C． x2＋ 1≥2|x|(x∈R D. 1 ＜ 1(x∈ R) x2＋ 1 解析 ：当 x＞0 时， x2 1 1 2 1 ≥lg x(x＞ 0)，故选项 A 不正确；而当 4 ≥2·x· x ＋ 4 ＋ 2＝ x，所以 lg x≠kπ，k∈ Z 时， sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 1 x＝0 时，有 x2＋ 1＝ 1，故选项 D 不正确． 题型二 利用基本不等式求最值 类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值 1．设 x0， y0，且 x＋y＝ 18，则 xy 的最大值为 x＋ y x＋ y 2 解析： ∵ x0， y0 ，∴ 2 ≥ xy，即 xy≤ 2 ＝ 81，当且仅当 x＝ y＝9 时， (xy)max＝ 81. 2.若函数 f(x)＝ x＋ 1 ( x2) 在 x＝ a 处取最小值，则 a 等于 x－ 2 解析： 当 x2 时， x－ 20， f(x) ＝ (x－ 2)＋ 1 ＋2≥2 x－ 2 × 1 ＋ 2＝ 4，当且仅当 x－ 2 x－ 2 x－2＝ 1 时取等号，即当 f( x)取得最小值时， x＝ 3，即 a＝ 3. (x2)，即 x＝ 3 x－ 2 x2＋4 的最小值为 3.函数 f(x)＝ |x| x2＋4 4 ≥ 2 4＝ 4，当且仅当 x＝ ±2时，等号成立 . 解析： f(x)＝ |x| ＝ |x|＋ |x| b 4a 4．若 a， b 都是正数，则 1＋ a ·1＋ b 的最小值为 解析： ∵a， b 都是正数，∴ 1＋ b 1＋ 4a b 4a ≥5＋ 2 b 4a a b ＝5＋ ＋ b · ＝ 9，当且仅当 b＝ 2a0 a a b 时取等号． 1 2 5．若实数 a，b 满足 a＋b＝ ab，则 ab 的最小值为 解析 ：依题意知 a＞ 0，b＞ 1 2 ≥ 2 2 2 2 1 2 0，则 ＋ b ab ＝ ，当且仅当 a ＝ ，即 b＝ 2a 时， “＝ ” a ab b 1 / 8 1 2 2 2 成立．因为 a＋ b＝ ab，所以 ab≥ ab，即 ab≥2 2，所以 ab 的最小值为 2 2. 1＋ 1，则 1＋ 2的最小值为 6．已知 a0， b0， a＋ b＝ a b a b 1 1 a＋ b 解析： 由 a0， b0，a＋ b＝ a＋b＝ ab ，得 ab＝ 1， 1 2 ≥ 2 1 2 1 2 ，即 a＝ 2 ， b＝ 2时等号成立． 则 ＋ ·＝ 2 2.当且仅当 ＝ b 2 a b a b a 7．已知 0x1 ，则 x(4－ 3x)取得最大值时 x 的值为 ________. 1 1 3x＋ 4－3x 4 3x＝ 4－ 3x，取等号 . 解析： x(4－ 3x)＝ · (3x)(4 － 3x)≤ · 2 2＝ ，当且仅当 3 3 3 5 1 8．已知 x＜4，则 f(x)＝4x－ 2＋ 4x－5 的最大值为 ________． 解析： 因为 x＜ 54，所以 5－ 4x＞0， 1 1 5－ 4x · 1 则 f(x)＝ 4x－ 2＋ ＝－ 5－ 4x＋ ＋3≤－2 ＋ 3＝－ 2＋3＝ 1. 4x－ 5 5－ 4x 5－ 4x 当且仅当 5－ 4x＝ 1 ，即 x＝ 1 时，等号成立．故 f(x)＝ 4x－ 2＋ 1 的最大值为 1. 5－4x 4x－ 5 2 －3的最小值为 9．设 x0，则函数 y＝ x＋ 2x＋ 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 解析： y＝ x＋ －2＝ x＋ 2 ＋ 1－ 2≥2 x＋ 2 · 1－2＝ 0，当且仅当 x＋2＝ 1， 2x＋ 1 x＋ 2 x＋ 2 x＋ 2 1 即 x＝ 2时等号成立．所以函数的最小值为 0. x2＋ 2 10．函数 y＝ x－ 1 (x1) 的最小值为 ________. 解析： ∵ x1， ∴ x－ 10， ∴ y＝ x2＋ 2 x2－ 2x＋ 1 ＋ 2x－ 2 ＋ 3 x－ 1 2 ＋2 x－ 1 ＋ 3 ＝ x－ 1 ＝ x－ 1 x－ 1 ＝( x－1)＋ 3 3＋ 2. 当且仅当 3 ，即 x＝ 3＋ 1 时，等号成立 . ＋2≥2 x－1＝ x－ 1 x－ 1 1 1 11．已知 x， y 都为正实数，且 x＋ y＋ x＋ y＝ 5，则 x＋ y 的最大值是 解析： 因为 x＋ y＋ 1＋1＝ x＋ y＋ x＋ y x＋ y ≤5. ≥ x