直线对称问题.docx

PAGE PAGE # 直线系对称问题 （一） 主要知识及方法： TOC \o "1-5" \h \z 点P a,b关于x轴的对称点的坐标为 ； 关于y轴的对称点的坐标为 ； 关于y = X的对称点的坐标为 ； 关于y - -x的对称点的坐标为 _. 点P a,b关于直线ax by，c = 0的对称点的坐标的求法： 1设所求的对称点P'的坐标为Xo,yo ， 则PP'的中点i ― ,b y° 一定在直线ax by ^0上. 12 2丿 yo _b f a （2 直线PP与直线ax +by+c=0的斜率互为负倒数，即 ■—旦=-1 xo—a I b丿 直线a1x biy ? G = 0关于直线ax by 0的对称直线方程的求法： 到角相等； 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称 点，再求过这两点的直线方程； 轨迹法（相关点法）； 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 4?点x, y关于定点 a,b的对称点为 2a-x,2b-y，曲线C : f x, y =0关于定 点a,b的对称曲线方程为 f 2a-x,2b-y =0. 5.直线系方程： 1直线y = kx ? b （ k为常数，b参数；k为参数，b位常数）. 2过定点M x0, y0的直线系方程为 y-y0=k x-x0及 ^x0 3与直线Ax By 0平行的直线系方程为 Ax By 0 （ C = G） 4与直线Ax By C =0垂直的直线系方程为 Bx - Ay ? m = 0 （5 ）过直线l1： aM+by+Ch。和l2： a2x+b2y+c2=0的交点的直线系的方程为: by & i亠」a?x b?y c? 1=0 （不含 I?） 典例分析（一） 例1:已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2（x-y）-仁0过定点，并求该定点坐标 思路一： 1 由 3a+2b=1 得:b=-2_(1-3a) 代入直线系方程 ax+by+2(x-y)-1=0 3 整理得（2x3 3-2 y-1)+a(x - 整理得（2x 3 3 -2 y-1)+a(x - 2 y)=0 由 2 ,得交点(1,-) 3 c 3 x y =0 L 2 直线过定点(i, 3 ). 3 思路二：赋值法 TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 1 3 令 a=0 得 b= 2 得 Li: 2x - ~2~y-仁0 令 b=0 得 a= 3 得 L2： x —2-y=o C 3 2x y -1 =0 2 由 2 ,得交点(i, 3 ) \o "Current Document" 3 3 x y =0 2y 1 把交点坐标代入原直线方程左边得：左边=〒(3a+2b-1) ??? 3a+2b-仁0 ???左边=0 这说明只要3a+2b-仁0 原直线过定点(1,-) 3) 例2:求证:无论入为何值，直线(2+入)x-(1+入)y-2(3+2入)=0与点P(-2,2)的距离d都小于 4 2 . 证明： 将直线方程按参数 入整理得 (2x-y-6)+入(x-y-4)=0 故该直线系恒过二直线 2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M 易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 2 所以dw 4 2 而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0,又无论入为何值，题设直线系方程都不可能表 示直线 x-y-4=0 ? d<4 2 【注】此题若按常规思路，运用点距公式求解，则运算量很大，难算结果,运用直线系过定点 巧妙获解. 例题：例3、已知直线I: k^-y V 2^0(^ R) 证明直线I过定点； 若直线I交x轴负半轴于 A，交y轴正半轴于 B ,△ AOB的面积为S,求S 的最小值，并求此时直线 l的方程； 若直线不经过第四象限，求 k的取值范围。 分析：(1)证直线系过定点，可用分离参数法。 (2)求厶AOB面积S的最小值，应先求出目标函数 S= f(k)，再根据目标函数的结 构特征选择最小值的求法。 (3)直线不经过第四象限的充要条件是：直线在 x轴上的截距小于或等于-2，在y 轴上的截距大于或等于 1。或由直线经过定点(-2, 1 )知斜率大于或等于零。 解：(1)直线I 解：(1)直线I的方程是: k x 2 1_y =0 令 X “°得：x「2 -y=0 y =1 ?无论k取何值，直线总经过定点(-2, 1) (2)由I的方程，得: 1 2k,0 , B(0,1 2k依题意得:1 2k- 1 2k ,0 , B(0, 1 2k依题意得: 1 2k -1 +2k 1 2k ::0 解得：k> 0 1 (1 2k)2 1 k 4k + 1 +4 、k丿 1 2 4 =4 1