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专题限时集训(十六) 选修4-5 不等式选讲
(建议用时:20分钟)
1.已知函数f(x)=|a-3x|-|2+x|.
(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥1-a+2|2+x|成立,求实数a的取值范围.
x≤-2,
[解](1)当a=2时,不等式f(x)≤3 即|2-3x|-|2+x|≤3,则 或
2-3x+2+x≤3
2 2
-2<x≤ , x> ,
3 3 3 7
或 解得- ≤x≤ ,
4 2
2-3x-2-x≤3 3x-2-2-x≤3,
3 7
x- ≤x≤
所以不等式f(x)≤3的解集为 4 2 .
(2)不等式f(x)≥1-a+2|2+x|等价于|a-3x|-3|2+x|≥1-a,即|3x-a|-|3x+
6|≥1-a.
由绝对值不等式的性质知|3x-a|-|3x+6|≤|(3x-a)-(3x+6)|=|a+6|.
5
若存在实数a,使得不等式f(x)≥1-a+2|2+x|成立,则|a+6|≥1-a,解得a≥- ,
2
5
- ,+∞
所以实数a的取值范围是 2 .
2.已知函数f(x)=|x|-|x-3|(x∈R).
(1)求f(x)的最大值m;
(2)设a,b,c为正实数,且2a+3b+4c=m,
1 1 1
求证: + + ≥3.
2a 3b 4c
-3,x≤0,
[解](1)法一:由f(x)=2x-3,0<x<3,
3,x≥3.
知f(x)∈[-3,3],即m=3.
法二:由绝对值不等式f(x)=|x|-|x-3|≤|x-x+3|=3,得m=3.
法三:由绝对值不等式的几何意义知f(x)=|x|-|x-3|∈[-3,3](x∈R),即m=3.
(2)证明:∵2a+3b+4c=3(a,b,c>0),
1 1 1
1 1 1 1 + +
∴ + + = (2a+3b+4c) ·2a 3b 4c
2a 3b 4c 3
2a 3b 2a 4c 3b 4c
1 + + +
= 3+ 3b 2a +4c 2a +4c 3b ≥3.
3
更多资料关注公众号:高考数学 (ID:gksx100)
当且仅当2a=3b=4c,
1 1 1
即a= ,b= ,c= 时取等号,
2 3 4
1 1 1
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