高一数学上1.2《三角比的和差化积》教案(2)(沪教版).docxVIP

1.2 （2）三角比的和差化积 一、教学内容分析 三角比的和差化积是上一节课所学的积化和差的互化，其推导过程 体现了数学学习中的辨证法，积化和差与和差化积看似矛盾，实际 上又是统一的 . 二、教学目标设计 教学目标 1．经历三角比的和差化积公式的推导过程，让学生能用联系与变 换的观点理解并掌握该 公式； 2．灵活运用“变角，变名”理解并熟练应用三角比和差化积公式 进行计算、化简与证明； 3．体会两组公式中从左到右为积化和差，从右到左是和差化积的 特点，理解两组公式的对立统一，感受数学学习中的辨证法；三、教学重点及难点 教学重点：理解通过积化和差公式及角灵活关系变形得到和差 化积的过程，理解两组公式的对立统一关系， 掌握并能灵活运用三角比积化和差公式 教学难点：三角比和差化积公式的推导及灵活运用； 四、教学流程设计 复习两角和或差的正 余弦公式， 分析并引出 三角比的和的形式的 转化（引入）  通过角的灵活变 换推出三角比的 和 差 化 积 公 式 （推导）  运用三角比的和 差化积公式进行 计算、证明（应 用） 小结、反思 六、教学过程设计 一、 三角比的和差化积公式的引入 1．观察、设疑 ：复习两个角的和或差的正余弦公式与积化和差 - 1 - 公式，观察并思考若逆向书写积化和差公式能发现什么规律？ sin( + ) + sin( ) = 2sin cos sin( + ) sin( ) = 2cos sin cos( + ) + cos( ) = 2cos cos cos( + ) cos( ) = 2sin sin 能否用三角比的和与差也化成相关角的三角比积的形式 呢？ 2． 分析、推导 ： sin(A B) sin A cos B cos A sin B sin(A B) sin A cos B cos A sin B 令 α A B, β A B ，则有 A α β α β ,B ，代入上面两式，得到 2 2 sin α sin β 2 sin α βcos α β 2 2 ， sin α sin β 2 cos α βsin α β 2 2 cos α cos β 2 cos α βcos α β 类似地可得， 2 2 α βsin α β cos α cos β 2 sin 2 2 [ 说明 ] 1、这套公式称为和差化积公式， 其特点是同名的正（余） 弦之间的和差才能使用，要注意公式中的三角比名称、角、 符号的对应关系，它与积化和差公式相辅相成，配合使用 .2、让学生感悟换元的思想 . 2．例题分析 例 1 已知 cos cos = 1 ，sin sin = 1 ，求 sin( + ) 2 3 的值 解：∵ cos cos = 1 ，∴ 2 sin sin 2 1 2 2 2 sin sin = 1 ，∴ 2 cos sin 2 1 3 2 3 ∵ sin 0 ∴ tan 3 ∴ tan 3 2 2 2 2 2  ① ② 2 tan 2 2 3 12 ∴ sin( ) 2 2 9 13 1 tan 2 1 4 - 2 - 点评：遇到同名（正弦或余弦）的三角比的和与差问题，常常可以利用和差化积进行分解，再与倍角、万能公式综合运用； （分析课本 1.2（2）的例 3、例 4、例 5） 例 3 利用积化和差公式，化简下列各式： π sin π π π α) （1） sin 5 ; ； （ 2） cos( α) cos( 12 12 3 3 [ 说明 ] 1、注意三角比和差化积公式的特点： 公式前后的三角比名称、 角、符号的对应关系； 2 、若例 3（2）变为：化简 cos sin 3 6 例 4 求证： cos 2 α cos 2 β sin( α β)sin( α β) [ 说明 ] 该问题可用一题多解 . 从左证到右：方法一，用平方差分解因 式再和差化积；方法二，先用二倍角公式降次再用和差化积公 式变形；从左证到右：方法三直接使用积化和差变形；体现出 三角比公式之间的密切联系 . 例 5 求证：在 ABC 中， cos A cosB cosC 1 4sin A sin B sin C . 2 2 2 [ 说明 ] 熟练运用和差化积公式解决有关三角形中的问题 . 体现消元 思想（ C= A B ） 三、巩固练习 课本第 13 页，练习 1.2(2) －1、2 四、课堂小结 和差化积公式的左边全是同名函数的和或差， 只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再 - 3 - 运用和差化积公式；无论和差化积还是积化和差中的 “和差”与“积”，都是指三角函数间