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课后跟踪训练(四十六) [基础巩固练] 一、选择题 1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 [解析]　当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，故选D. [答案]　D 2.(2020·太原五中月考)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M [解析]　∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ. 又C∈γ，M、C∈β， ∴γ与β的交线必通过点C和点M.故选D. [答案]　D 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M A．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面 C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面 [解析]　因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、 [答案]　D 4．(2020·西安铁一中学月考)以下四个命题中，正确命题的个数是(　　) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　对于①，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故①正确；对于②，若A，B，C共线时，A，B，C，D，E不一定共面 ，故②不正确；对于③，b，c也可异面，故③不正确；④是错误的．故选B. [答案]　B 5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1 A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5) [解析]　如图，连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝eq \r(2)，A1B＝BC1＝eq \r(5)，故cos∠A1BC1＝eq \f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5).故选D. [答案]　D 二、填空题 6．(2019·陕西汉中调研)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________． [解析]　如图，在正方体中可知，b与α相交或b?α或b∥α. [答案]　b与α相交或b?α或b∥α 7．(2019·广东华山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝eq \r(2)∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________． [解析]　取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求 设AB＝1，则A1A＝eq \r(2)，AB1＝eq \r(3)，B1E＝eq \f(\r(3),2)，AE＝eq \f(3,2)，故∠AB1E＝60°. [答案]　60° 8.(2020·江西上饶月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点 ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论号都填上) [解析]　由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角 [答案]　③④ 三、解答题 9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF (1)D，B，E，F四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R [证明]　(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1 在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD. 所以EF，BD确定一个平面．即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中 设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β. 则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点． 所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β