高三数学立体几何欧拉定理与球教案.docxVIP

立体几何欧拉定理与球 一、知识点： 1．简单多面体： 考虑一个多面体， 例如正六面体， 假定 它的面是用橡胶薄膜做成的， 如果充以气体， 那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面 如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做 简单多面体 棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数 V 面数 F 棱数 E 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 3 ． 欧拉定理 （欧拉公式）：简单多面体的顶点数 V 、面数 F 及棱数 E 有关系式： V F E 2． 4．欧拉示性数： 在欧拉公式中令 f ( p) V F E ， f ( p) 叫欧拉示性数 （ 1）简单多面体的欧拉示性数 f ( p) 2 ．（ 2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f ( p) 0 （ 3）多面体所有面的内角总和公式：① ( E F )360 或② (V 2)360 0 A 5 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球 定点叫 R O C 球心，定长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面 一个球或球面用 表示它的球心的字母表示，例如球 O ． B 6 ．球的截面： 用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段， O 为垂足，且 OO d ， 所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r R2 d 2 为半径的一个圆， 截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做 大圆 ，被不经过球心的平面 截得的圆叫做 小圆 7 ． 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截  O R d r O' P 球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的 半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离： 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两 点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的 球面距离  B 9． 两点的球面距离公式： AB R （其中 R为球半径， 为 A,B 所对应的球  R R O 心角的弧度数） 10 半球的底面： 已知半径为 R 的球 O ，用过球心的平面去截球 O ，球被截面 分成大小相等的两个半球，截面圆 O （包含它内部的点） ，叫做所得 半球的底面 11．球的体积公式 ： V 4 R3 3 12 球的表面积： S 4 R2 O 用心 爱心 专心 1 二、练习： 一个 n 面体共有 8 条棱， 5 个顶点，求 n 2． 一个正 n 面体共有 8 个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 3． 一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数 V和面数 F 有下面的关系： F＝ 2V－ 4 4． 有没有棱数是 7 的简单多面体？说明理由 5． 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边 6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ． ②球半径为 25cm ，球心到截面距离为 24cm ，则截面 面积为 ． 1 ③已知球的两个平行截面的面积分别是 5 和 8 ，它们位于球心同一侧， 且相距 ，则球半径是． ④球 O 直径为 4 ， A, B 为球面上的两点且 AB 2 3 ，则 A, B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬 60 圈上 M , N 两地，它们在纬度圈上的弧长是 R （ R 为地球半径） ，则这两地间的球面距 2 离为 ． 7 ． 北纬 45 圈上有 A, B 两地， A 在东径 120 ， B 在西径 150 ，设地球半径为 R ， A, B 两地球面 距离为 ； 8． 一个球夹在 120 二面角内，两切点在球面上最短距离为 cm ，则球半径为 ； 设地球的半径为 R，在北纬 45°圈上有 A、 B 两点，它们的经度相差 90°，那么这两点间的纬线的长为 _________，两点间的球面距离是 _________． 10 4 倍，则体积增大为原来的 倍； 11．三个球的半径之比为 1: 2:3 ，那么最大的 球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12. 若球的大圆面积扩大为原来的 4 倍，则球的体积比原来增加 倍； 13. 把半径分别为 3，4， 5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14. 正方体全面积 是 24 ，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ． O1、O2 分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球 O3 的表面上，求三个球的 表面积之比． 16． 表面积为 324