蝴蝶定理小证.docxVIP

感谢各位数学大虾 美丽的蝴蝶定理 已知圆O, PQ是一条弦，设 M为弦PQ的中点，过 M作弦AB和CD。 设AD和BC各相交PQ于点X和Y，贝U M是XY的中点。 证明：过圆心0作AD与BC垂线，垂足为S、T , 连接 OX , 0Y , 0M。SM。MT。*/△ AMD CMB , 且 SD=1/2ADBT=1/2BC , ??? DS/BT=DM/BM 又 D= / B ???△ MSD MTB，/ MSD= / MTB :丄 MSX= / MTY ; 又TO, S, X , M与O, T。Y。M均是四点共圆， :丄 XOM= / YOM t OM 丄 PQ 二 XM=YM 北京高考题 iy 1,椭圆的长轴 A、A与x轴平行，短轴BB在y轴上，中心 为 M ( o，r) ( b> r > 0)。 写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (H)直线y=k1x交椭圆于两点C( xi,yi) ,D(x 2,汕(y >0);直线y=k2x交椭圆于两点G( X3,屮),H( X4,屮)(y 4 >0)。 求证： k 1 x 1X2/ (x i+X2)=k 2X3X4/(X3+X4) (皿)对于(H)中的 C, D, G, H,设CH交X轴于点P, GD 交X轴于点Q。 求证：| OP | = | OQ | 。 (证明过程不考虑 CH或GD垂直于X轴的情形) (I)解：椭圆方程为 x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为(±( a2-b2) 1/2 ，0) (H)证明 将直线 CD 的方程 y=kx 入椭圆方程， 得 b2x2+a2(k1x-r) 2=a2b2，整理，得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根据韦达定理，得 xi +X2 =2ki a2r/(b 2+a2ki2), x1 x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2ki2), 所以 x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ① 将直线GH的方程y=k2X代入椭圆方程，同理可得 x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ② 由①， ②得 k1x1x2/(x1+x2)=(r 2-b2)/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。 (皿)证明：设点P (p, o),点Q (q, o)。 由 C， P， H 共线，得 (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得 P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 由 D, Q, G 共线,同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) ( *) 由 k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4), 变形得: X2X3/(k lX2-k2X3)=X 1 X4/(kl Xl-k2X4) 即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1X4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|，即,|OP|=|OQ|。 (*) 设：kiXiX2/(xi+X2)=k 2X3 X4/(x 3+x 4)为①式，两边同取倒数，得 1/kiX2+1/kix 1=1/k2x4+1/k2X3 ①' 设：XiX4/(klXl-k2X4)=-X2X3/(klX2-k2X3)为 ②式，两边同取倒数, 彳得 ki/x4-k2/xi =k2/x2-ki/X3, 移项得 k2/xi+k2/x2=ki/x3+ki/x4 ②' 将①两边同乘以ki k2，即得 k2/x 什k2/x2=ki/x3+ki/x4 可见①与②相同 小学几何梯形蝴蝶定理 ［公式］ 梯形蝴蝶定理 如图，在梯形中，存在以下关系： (1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方 S1 : S2=aA2/bA2 S1 : S2 : S3 : S4= aA2 : b"2 : ab : ab ; S3=S4 ; S1XS2二S3X S4(由 S1/S3二S4/S2 推导出) 其它搜集(仅供参考) ［推广］二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF 交AB于P, 则 1/QM-1/PM=1/AM-1/BM. 以 M 为原点，AB 为 x 轴，S:AxA2+Bxy+CyA2+Dx+Ey+F=0, CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程： S+t(y-k1x)(y-k2x)=0. 令y=0,得(A+tk1k2)xA2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标， 则FxA2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。 即 1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM). 得证。 如图:Area(ABC)表示三角形ABC的面积 根据三角形面积公式：Area(ABC)=0.5*a*b*sinC， 如果两