7（整理）.5二阶线性微分方程解的结构（整理）.ppt

7.5 二阶线性微分方程解的结构 掌握并灵活运用线性微分方程的解的结构 .精品课件. * 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 一、概念 .精品课件. * 二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 问题: 注:齐次线性方程的解符合叠加原理. .精品课件. * 例如 线性无关 线性相关 .精品课件. * 例如 定义 .精品课件. * 2.二阶线性非齐次方程的解的结构: 一阶线性非齐次微分方程 对应的齐次方程的通解 非齐次方程的一个特解（与 c = 0 对应的特解） 结论：一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个 特解与对应的齐次方程的通解之和 .精品课件. * 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: .精品课件. * 解的叠加原理 定理 4 通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理 定理 4 同样可以推广到 n 阶非齐次方程的情形 .精品课件. * .精品课件. * 三、常数变易法 是（1）的一个已知的非零特解 作变量替换： 代入（1）得： 注意: 1. 降阶法----刘维尔公式 ----二阶齐次方程的通解 .精品课件. * 是（1）的一个已知的非零特解 作变量替换： 作变量替换： 分离变量得: 两边积分得: .精品课件. * 是（1）的一个已知的非零特解 作变量替换： 作变量替换： 刘维尔公式 .精品课件. * 是方程 例1:设 的一个解,试求方程的通解 解: 令 代入方程并化简得 作变量替换： 并将 代入化简得 两边积分得: .精品课件. * 是方程 例1:设 的一个解,试求方程的通解 解: 令 作变量替换： 两边积分得: 所以 .精品课件. * 三、常数变易法 如果对应的齐次线性方程 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： 2. 常数变易法----求非齐次线性方程的特解 有通解: 补充条件: .精品课件. * 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： 补充条件: 所以 代入（1）并化简得 .精品课件. * 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： 代入（1）并化简得 解之得： .精品课件. * 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： .精品课件. * 若能求得（2）的一个特解 则可按以下步骤求得（1）的通解： （2）由常数变易法求出（1）的一个特解： 从而得到齐次方程（2）的通解： （1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解 ， （3）写出方程（1）的通解 .精品课件. * 的通解 例2:求方程 解: 由刘维尔公式得 齐次方程（2）的通解为： 由常数变易法，设所求方程的特解为: 由 得 .精品课件. *