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平面上两直线的夹角求法解析 、容概述 在2004年审定的人教 A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及 到.但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式： tan （凸-戸）=tan 盘一 tan § tan （凸-戸）= tan 盘一 tan §1+tan a tan Q 平面向量中直线法向量夹角的余弦 及直线方 向向量夹角的余弦 的应用来进行考查. 、基本概念 ①平面上直线方程的两种常用表示: 直线的点斜式方程： 丿二+6 依芒0). ; 直线的一般式方程： -「 - H ■-不全为〔. 平面上两条相交直线夹角的概念： 平面上两条相交直线 1,丄所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角. 平面上两条直线所成角的围: 如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为 7 ; 如果两条直线垂直，规定它们的夹角为 ; 如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角围为 平面上直线的方向向量： 基线与平面上一条直线-平行或重合的向量 亍，叫做直线的方向向量; 直线点斜式方程的一个方向向量为 H . 平面上直线的法向量： 基线与平面上一直线 垂直的向量人，叫做直线.的法向量； 直线的一般式方程」［「不全为「的一个法向量为1■■-r . 三、理论推导 1?已知倾斜角 1?已知倾斜角1,根据两角差的正切公式 角. 求两直线夹 证明：如下图所示，在平面直角坐标系 中，直线?一的倾斜角为；一，直线I的倾斜 假设一 丁 为直线所成的一角，显然： ，则1 ，由公式得: 1 +1an 席 1 tan 口： 1 + k並 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角 二围是■「，所以：江匚?从而得: tan a = tan a = |tan 6| = Itan (a 3 - )1 = tan 母2 — tan 內 上2 —妬 1 4 tan 闵 tan 巴 1 +吐 1 n a = arc tan 即，平面上直线-与直线」的夹角 2?已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦 ?l I求平面上两直线夹 角. 易1 由法向量夹角的余弦得 A4+朋 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角 AA+BB^ J屮+沪丿4件月 a h 爲.爲 COS U 冲 1，兮 = 向量‘1 假设—一十二为直线 3 +夕如+B 丄.-1 1 - -，一法向量-I - .■■■ ■■：，-；直线［的一般式方程为；■ -■ L , 一法 证明：如下图所示，在平面直角坐标系 -」中，直线I的一般式方程为 二所成的一角，显然J I二■ I （左图）或 ■Jr （右图） 证明：如下图所示，在平面直角坐标系「中，直线I的点斜式方程为 围是J ■「’，所以〕?从而得 a-b GQSP = ―rzi 国bl 1求平面上两直线夹 一方向向量■ -；直线〔的点斜式方程为-■ * , 一方向向量_ 11 L 3?已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦 角. 如）⑷0） 引区「W+愛3+护 3 +少斯石J i a = arccos 即，平面上直线〔与直线二的夹角 1 pc. / O 假设一 为直线所成的角，显然「i - （左图）或（右图）， 由方向向量夹角的余弦得: ah _ （1,妬）（1 尼）_ 1+卒2 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角 上围是，J ，所以 ；?从而得: COS CL - |cos 创二 cos a,b 氓=artels 即，平面上直线〔与直线」的夹角 即，平面上直线 〔与直线」的夹角 注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量， 也可以求出直线点斜式方程的某个法 向量?但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别： 两直线夹角二的围是71 -,即的三角函数值一定是非负的. 四、例题解析 对于有关平面上两直线的夹角问题， 理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根 据题意选取恰当的理论和方法来解决问题?下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的. 例1 已知直线〔，二的斜率是二次方程「「一 -:的根，试求直线】与I的夹角. 解析：设直线〔，I的斜率分别为 匚，〔，解二次方程：丄.-.得, 所以直线-与二的夹角 = arctantan 召=得, 所以直线-与二的夹角 = arctan tan 召= 得, 点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用， 解决此类问题的时候，要理 解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法. 例2 求直线一与直线二‘―[—1 ?的夹角. 解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直， 因此我们选择法向量求夹角的方法. 直线1 ■ + 1 一法向量菇-:v :;直线；■ - 1 1 一法向量匹 CO0 = CCS 示兀 AA hjmFjr弔阿得