大学物理课件-第10章--波动资料.ppt

2021/2/7 解 （1）一般所用的方法是将给定的方程和标准的波动方程 相比较,从而求出各参量。现在 y = 0.05cos（10πt－4πx）= 所以,此波向X轴正方向传播,而 A = 0.05 m , u = 2.5 m·s-1 ,υ = 5 Hz , λ = 0.5 m （2）平衡位置在x处的质元在任意时刻的速度和加速度分别为 由给定的方程和标准的波动方程相比较,还有 ω = 10π rad·s-1 故,各质点振动时的最大速度和最大加速度 vm = Aω = 0.05×10π = 1.57 m·s-1 am = Aω2 = 0.05×（10π）2 = 49.3 m·s-2 （3）x1 = 0.2 m, t1 = 1 s时的相位为 φ = 10πt－4πx = 9.2π 此相位所代表的运动状态为位移 y = A cosφ = 0.05 cos9.2π = －0.04 m 振动速度 v = －A ω sinφ = －0.05 × 10π × sin 9.2π = 9.23 m·s-1 说明此质点处在平衡位置下方0.04m处,以9.23 m·s-1的速度向上运动。 （4）波速u也即相位传播速度,在时间间隔内相位传播的距离为 = u x1 + = 1.45 m = 2.5×（1.5－1）= 1.25 m x = 即t2 = 1.5 s时刻,此相位所描述的运动状态传至离原点1.45 m处。 *10.2.2 波动微分方程wave differential equation 把式（10-2）分别对t和x求二阶偏导数,得到 比较上列两式,即得 （10-3） 如果从式（10-2）＇出发,所得的结果完全相同,仍是式（10-3）。任一平面波,如果不是简谐波,也可以认为是许多不同频率的平面余弦波的合成,在对t和x偏微分两次后,所得的结果将仍是式（10-3）。所以式（10-3）反映一切平面波的共同特征,称为平面波的波动微分方程。 可以证明,在三维空间中传播的一切波动过程,只要介质是无吸收的各向同性均匀介质,都适合下式: 式中为了避免混淆,改用代表振动位移。任何物质运动,只要它的运动规律符合上式,就可肯定它是以u为传播速度的波动过程。 研究球面波时,可将上式化为球坐标的形式,并注意到各个径向方向上的波的传播完全相同,即可得到球面波的波动方程为 式中仍以 代表振动位移,而r代表沿一半径方向上离点波源的距离。与式（10-3）相比,即可得到与式（10-2）相对应的球面余弦波波动表式如下: 上式告诉我们,球面波的振幅与距离r成反比,随着r的增加,振幅逐渐减小。式中常量a的数值等于r为单位长度处的振幅,a不代表振幅,才代表振幅。 10.3 波的能量wave energy 在波动中,波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接着一层地传播出去,使介质中各质元依次在各自的平衡位置附近振动,因而介质中质元具有动能,同时介质因发生形变而具有势能。所以,波动过程也是能量传播的过程。 假设平面简谐横波在密度为ρ的均匀媒质中传播,其波动方程为 由于振动,平衡位置在x处的质元在任意时刻的速度为 设每个质元的体积为dV,则质量为dm = ρdV,显然,所有质元都在与传播方向垂直的方向上作持续的简谐振动,每个质元具有的动能为 （10-4） （10-5） （注:势能的推导比较复杂,这里只给结果,不作推导。） 质元的总能量为它的动能和势能之和 （10-6） 由式（10-4）和（10-5）可知,一质元的动能和势能的时间关系式是相同的,两者不仅同相,而且大小总是相等。它们同时达到最大值,同时为零。因为在波动中与势能相联的是质元间的相对位移（体积元的形变Δy/Δx）。借助于波形图不难看出,在最大位移处的质元,速度为零,动能为零 ,同时Δy/Δx也为零,所以弹性势能也为零。而在平衡位置处的质元,速度最大,动能最大,同时波形曲线较陡,Δy/Δx有最大值,所以弹性势能也最大。体积元的总机械能是随时间而变化的,它在零和最大值之间周期地变化着。这一点与单个谐振子的情形完全不同。后者,动能最大时势能为零,势能最大时动能为零。为什么会有这个不同呢?因为简谐振动的能量是指一个作谐振动的孤立系统的能量,在振动过程中,它的总能量是守恒的,即动能的增加必以势能的减少作为代价,反之亦然。而现在我们所研究的质元是处于媒质的整体之中,每个质元与其他的质元以弹性力相联系,它不是孤立的。在波动中,沿着波前进的方向,每个质元不断地从后面的质元中吸取能量而改变本身的运动状态,又不停地向前面的质元放出能量而迫使它们改变运动状态,这样,能量就伴随着振动状态从媒质的一部分传至另一部分。 由式（10-6）可知,对于某一体积元来说,总