2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册课件-3.2-函数的基本性质-3.ppt

命题角度1　求对称区间上的解析式 例1　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，求当x0时，f(x)的解析式. 一、利用函数的奇偶性求解析式 多维探究 解　设x0，则－x0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1. 反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1　已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式. 解　因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， 所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1). 因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0). f(0)＝0. 命题角度2　构造方程组求解析式 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 用－x代替x， 反思感悟 f(x)＋g(x)＝ 对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x. 利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x). 跟踪训练2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ① 用－x代替x， 得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， ∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2； (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例3　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 A.f(π)f(－3)f(－2) B.f(π)f(－2)f(－3) C.f(π)f(－3)f(－2) D.f(π)f(－2)f(－3) √ 解析　因为函数f(x)为R上的偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2). 又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π32， 所以f(π)f(3)f(2)，故f(π)f(－3)f(－2). 反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 跟踪训练3　(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为 A.f(1)f(－10) B.f(1)f(－10) C.f(1)＝f(－10) D.f(1)和f(－10)关系不定 √ 解析　∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(－10)＝f(10)f(1). (2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设ab0，下列不等式中成立的有___________.(填序号) ①f(a)f(－b)； ②f(－a)f(b)； ③g(a)g(－b)； ④g(－a)g(b)； ⑤g(－a)f(－a). ①③⑤ 解析　f(x)为R上奇函数，增函数，且ab0，∴f(a)f(b)f(0)＝0， 又－a－b0，∴f(－a)f(－b)f(0)＝0，∴f(a)f(b)0f(－b)f(－a)， ∴①正确，②错误. x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)， ∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴g(－a)＝g(a)g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误. 又g(－a)＝g(a)＝f(a)f(－a)，∴⑤正确. 例4　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f(－3)＝0，则 0的解集为________________. 三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式 {x|－3x0或x3} 解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数. ∴f(3)＝f(－3)＝0. 当x0时，由f(x)0，解得x3； 当x0时，由f(x)0，解得－3x0. 故所求解集为{x|－3x0或x3}. 解析　由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，