MMs排队模型答案解析.docx

* * n n 1 n 1 * * § 3 M/M/s排队模型 一、单服务台模型（即M/M/1/ / 或M/M/1） 到达间隔：负指数（参数为 ：到达率）分布； 服务时间：负指数（参数为 ：服务率）分布； 服务台数:1； 系统容量：无限； 排队长度（客源）：无限； 服务规则:FCFS. 1.队长的分布 设pn P{N n} n 0,1,2,...为系统平稳后队长 N的概率分布，则由 (1) Cn n 1 n 2 0 ,n n n 1?..1 1,2,...（累积服务率） ⑵ Po 1 (1 Cn) n 1 （无客的概率） ⑶ Pn Cn Po, n 1,2,... （有n客的概率） 及 n ,n 0,1,2,…和 n ,n 1,2,...,并记 -（服务强度，一般 1） 可得 n Cn —— n ,n 1,2,... 故有 Pn n Po, n 1,2,... 其中 Po 1 (1 Cn) 1 (1 n) 因此 Pn (1 ) n,n 0,1,2,…. 无客的概率：心1 程度（即服务强度）=服务机构的利用率 至少有一客的概率服务台处于忙的概率 至少有一客的概率 服务台处于忙的概率=繁忙 如单位时间， 2, 5,则 ，即40%在忙. 2.几个主要指标 (1)系统中平均顾客数=平均队长 * * * * (2)系统中等待的平均顾客数 =平均排队长 可以证明(见第二版P328的注释) 在M/M/1中，顾客在系统中逗留时间服从参数为的 负指数分布，即 密度分布函数：f(t) ( )e ( )t,t 0. 分布函数：F(t) P(T t) 1 e ( )t,t 0. 于是得 (3)在系统中顾客平均逗留时间 * * 1 1 * * 1 1 W E[T] (4)在队列中顾客平均等待时间 因为逗留时间=等待时间Tq+服务时间V,即 T Tq V 故W E(Tq) E(V) Wq丄，从而得 * * 另外还可得到（时间与空间关系）: L W 和 Lq Wq 这两个常称为Little公式. 各公式可记忆如下： 由和 服务效率 一， WWq1 W Wq 从逗留时间W 等待时间Wq 队长L W 排队队长Lq L或Lq 还可导出关系 W Wq 丄和 L Lq - 3.服务机构的忙期 B和闲期I分析 (1)因为 忙期=至少一客的概率 ，闲期=无客的概率1 忙期时间长度/闲期时间长度=1 (2)因为 忙闲交替，次数平均 平均忙期时间长度/平均闲期 TOC \o 1-5 \h \z 时间长度= B . \o Current Document 1 I 1 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性 任闲时刻起，下一客到达间隔仍为 负指数分布 1 - 1 平均闲期=下一客到达间隔一 I \o Current Document 平均忙期=B - W 1 即顾客平均逗留时间，实际意义是明显的? 例1 —个铁路列车编组站，设待编列车到达时间 间隔负指数分布，平均到达率2列/h;编组时间服从 负指数分布，平均20min可编一组.已知编组站上 共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车 只能停在站外或前方站?求 在平稳状态下系统中列车的平均数 ； 每一列车的平均停留时间； * * * * (3)等待编组的列车的平均数? 如果列车因站中的 2股道均被占用而停在站外或前 方站时，每列车的费用为a元/h,求每天由于列车在 站外等待而造成的损失. 2 解这里 2, 3, - 2 1 3 列车的平均数 L 1 2 (小时) 列车的平均逗留时间 W L 2 1 （小时） 2 （3）等待编组的列车平均数 TOC \o 1-5 \h \z , , 2 4 t Lq L 2 （列） \o Current Document 3 3 （4）等待编组时间 W討时） ⑸ 记列车平均延误（2道满，不能进站）时间为Wo，则 W0 W P{N 2} W （1 p0 p, p2） 0.296（小时） 故每天列车由于等待而支出的平均费用 E 24 E 24 W0a 24 2 0.296 a 14.2a （元）. 例2某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达 过程为Poisson流，平均4人/h;修理时间服从负指 数分布，平均需要6 min.试求： 修理店空闲的概率； 店内恰有3个顾客的概率； 店内至少有1个顾客的概率； 在店内的平均顾客数； 每位顾客在店内的平均逗留时间 ； 等待服务的平均顾客数； 每位顾客平均等待服务时间； 顾客在店内等待时间超过 10min的概率. 2 解这里 4, 1/0.1 10, - - 1 5 修理店空闲的概率 TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document p0 1 1 2/5 0.6 店内恰有3个顾客的概率 3