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重积分教案讲义 第一节二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算. 分布图示 ★曲顶柱体的体积 ★非均匀平面薄片的质量 ★二重积分的概念 ★二重积分的性质 ★二重积分的中值定理 ★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题9-1 ★返回 内容要点 一、二重积分的概念 引例1求曲顶柱体的体积；引例2求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义 二、二重积分的性质 性质1—性质6 二重积分与定积分有类似的性质. 性质1 性质2如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域和,则 这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性. 性质3如果在闭区域D上,为D的面积,则 这个性质的几何意义是:以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积. 性质4如果在闭区域D上,有则 特别地,有 性质5设分别是在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则 这个不等式称为二重积分的估值不等式. 例题选讲 二重积分的性质 例1不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域： . 解区域D的面积在上 由性质6知 例2（E01）估计二重积分的值,其中积分区域为矩形闭区域. 解积分区域面积 在上的最大值最小值 故 例3判断的符号. 解当时， 故 又当时， 于是 例4积分有怎样的符号,其中 解 <0 例5(E02)比较积分与的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0). 解三角形斜边方程在内有故 于是因此 课堂练习 1.将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处. 2.试用二重积分表示极限