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高中数学函数值域的解法有哪些 一。观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√2-3x 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√2-3x 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√2-3x≥0， 故3+√2-3x≥3. ∴函数的知域为。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：1被开方数的非负性，2值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x]0≤x≤5的值域。答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝ 二。反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=x+1/x+2的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=x+1/x+2的反函数为：x=1-2y/y-1,其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=10x+10-x/10x-10-x的值域。答案：函数的值域为{y∣y-1或y1｝ 三。配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√-x2+x+2的值域。 点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-x-1/22+9/4∈[0，9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域。答案：值域为{y∣y≤3} 四。判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=2x2-2x+3/x2-x+1的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为y-2x2-y-2x+y-3=0 * 当y≠2时，由Δ=y-22-4y-2x+y-3≥0，解得：2 当y=2时，方程*无解。∴函数的值域为2 点评：把函数关系化为二次方程Fx,y=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f及y=ax+b±√cx2+dx+e的函数。 练习：求函数y=1/2x2-3x+1的值域。答案：值域为y≤-8或y0。 五。值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=fx,可求出y=fx在区间[a,b]内的较值，并与边界值fa.fb作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。 例5已知2x2-x-3/3x2+x+1≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤3/2, ∴z=-x-22+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4. ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。 练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 A.-∞，+∞B.[-7，+∞]C.[0，+∞D.[-5，+∞ 答案：D。 六。图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=∣x+1∣+√x-22 的值域。 点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 -2x+1x≤1 y= 3 -1 2x-1x2 它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。 点评：分段函数应注意函数