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三角函数的性质三角函数的图象宀叟¥T值域1基本变换
三角函数的性质
三角函数的图象
宀叟¥T值域
1
基本变换 .
J
?
1
三角函数的图象与性质
、知识网络
~三角函数的图彖和性质
三、知识要点
(一)三角函数的性质
1、 定义域与值域
2、 奇偶性
(1) 基本函数的奇偶性 奇函数:y = sinx , y = tanx ; 偶函数:y= cosx.
(2) -'’ 一 -‘:型三角函数的奇偶性
g (x)=* (x€ R)
g (x )为偶函数 ' 二二=-;
O卫址i(徴 + ? =/win(-徴 +@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应)
由此得cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7)
由此得
同理,旨(对二話乞山(伽+洌0€丘)为奇函数 O 寻炉=七兀3€2).
(ii) u '■■ ' ' ''「:;: :「' ■?■.
八 为偶函数 ' ..为奇函数
O <P=^JT+ —(itc Z)
3、周期性
(1)基本公式
(i)基本三角函数的周期y
(i)基本三角函数的周期
y= sinx , y= cosx 的周期为
jjT ;
y= tanx , y =
cotx的周期为;丁
cotx的周期为;丁 .
(ii) ?' ‘:儿’匸;型三角函数的周期
y =儆+ 炉)炉)+丘
y =儆+ 炉)炉)+丘
的周期为
竺
kl
7T
y = / tan(阪
y = / tan(阪 + + 上丿=/cot(血+饲 + 上
的周期为
(2)认知
-I ' ' :" '型函数的周期
7T
-;1 1 - - ■ : - 1 的周期为 门;
71
71
■■ 和「小十:|「 上1 ' ' - ■ ■的周期为
-- -I '-的周期
加n(船+训+卅丿十⑹他+少)+日的周期为石;
J 「■:■川■': .. | I'-:-1 I A' I J 的周期为
均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 J
均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 J
的解析式施加绝对值后,
该函数的周期不变.注意这一点与(i)的区别
(ii)若函数为’" 「:型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.
探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验一一猜想一一证明
特殊情形研究
y = tanx — cotx的最小正周期为 二
y =
y = sin z|+|co3J:
的最小正周期为
(iii) y = Sin 4x+ COS 4x的最小正周期为
由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象
4、单调性
基本三角函数的单调区间(族)
依从三角函数图象识证“三部曲”:
选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角, 单调区间完整,并且最好关于原点对称
的一个周期;
写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间);
获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍, 即得这一函
数的增区间族(或减区间族)
循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族
揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 ?
y c ■'型三角函数的单调区间
此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为
换元、分解:令u=''",将所给函数分解为内、 外两层:y= f (u) ,u:;
套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出 f (u)的单调性,而后利用(1)
中公式写出关于 u的不等式;
还原、结论:将 u=「 「代入②中u的不等式,解出x的取值范围,并用集合或 区间形成结论?
(二)三角函数的图象
1、对称轴与对称中心
基本三角函数图象的对称性
(i)
正弦曲线
y = sinx的对称轴为 -
; 正弦曲线y = sinx的
对称中心为(
, 0)
住€刃
(ii)
余弦曲线
y = cosx 的对称轴为 L
余弦曲线y = cosx的对称
正切曲线y=tanx无对称(/(心)
正切曲线y=tanx无对称
(iii)正切曲线 y = tanx的对称中心为 - 轴?
认知:
①两弦函数的共性:
x = ■为两弦函数f (x)对称轴■ ■ -为最大值或最小值;(! ,0)为两弦函数f ( x)
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(1)(2)
(1)
(2)
对称中心:■■ 1 ■- = 0.
②正切函数的个性:
(! , 0)为正切函数f (x)的对称中心 = 0 或/ 不存在?
(2) ‘二-- 型三角函数的对称性(服从上述认知)
(i)对于g (x)= 二二或g (x)=— V工的图象
x =丄 为g (x)对称轴;为最值(最大值或最小值);(丄,0)为两弦函数g ( x) 对称中心 -■1 = 0.
(ii)对于g( x) =m-工 的图象(已,0)为两弦函
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