基本初等函数(整理).docxVIP

1.1初等函数图象及性质 幕函数 1函数（是常数） 叫做幕函数。 2幕函数的定义域，要看 2幕函数的定义域，要看 是什么数而定。 但不论 取什么值，幕函数在（0,+ ）总有定义。 3最常见的幕函数图象如下图所示： ［如图］ 1-23 (“U[ 「 1-23 (“ U [ 「 T / - 10 15 4① >0 4① >0时，图像都过（0,0 ）、（1,1 ）点， 注意 > 1与0< V 1的图像与性质的区别 V 0时，图像都过（1,1 ）点，在区间（ 无限接近y轴，向右无限接近 x轴. 当x>1时，指数大的图像在上方. 在区间（0, +8）上是增函数; -10 0, +8）上是减函数；在第一象限，图像向上 指数函数与对数函数 1 •指数函数 1函数 （a是常数且a>O,a 1 ）叫做指数函数，它的定义域是区间 （- 2因为对于任何实数值 x,总有，又，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0,1） 若a>1，指数函数是单调增加的。若 0<a<1，指数函数是单调减少的。 a> 1 0 v a< 1 图 象 性 质 （1）定义域：R （2）值域：（0,+^ ） ⑶过点（0 , 1） ⑷在R上增函数 ⑷在R上减函数 有理指数幕的意义、幕的运算法则: anbn anbn （这时m,n是有理数） a a :②(a ) a :③(ab) 分数指数幕:1ann a,an * m-a ,an 分数指数幕: 1 an n a,a n * m -a ,a n 1 n,a a 1 。 n • m a 2 •对数函数 由此可知 ，今后常用关系式 ， 如: 指数函数的反函数，记作 （a是常数且a>0, a1 ），叫做对数函数。它的定义域是区间 （0，+ ）。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线 y = x对称（图1-22 ）。 的图形总在y轴上方，且通过点（1,0）。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间 （0,1）函数值为负，而在区间（1,+ ）函数值为 正。 若0<a<1，对数函数是单调减少的，在开区间 （0,1）函数值为正，而在区间（1,+ ）函数值 为负。［如图］ 对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图 象 — 1 1 0 1 0 1 -” [ F 1 性 质 定义域：（0, +8） 值域：R 过点（1, 0）,即当x = 1时，y= 0 x€( 0, 1 )时 yv 0 x€( 1 ,+8)时 y > 0 x €( 0, 1 )时 y > 0 x €( 1 ,+8)时 y< 0 在（0, +8）上是增函数 在（0, +8）上是减函数 重要公式： ⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1 = 0, log a a= 1 ⑶对数恒等式alogaN N . (4) log a ab = b 运算法则 若 a>0, az 1, M> 0, N>0，贝U log a(MN = logaMI^ log aN; M log aN = log aM- log aN; log a M n n logaM; loga - loga M n 对数换底公式： log m N “ log a Nh ( a> 0, az 1, m> 0 , 1, N>0) log m a 三角函数与反三角函数 1.三角函数 ，奇函数、有界函数、周期函数 ； ，偶函数、有界函数、周期函数 ； ,的一切实数，奇函数、 周期函数 ,的一切实数，奇函数、 周期函数； ; ; 正弦函数和余弦函数都是以 2 为周期的周期函数，它们的定义域都是区间 （-，+ ）, 值域都是必区间［-1,1］。 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以 为周期的周期函数，它们都是奇函数。 ［如图］ I I 机7 a (q) 輻 1-22 双曲函数与反双曲函数 双曲正弦：，奇函数，单调增函数； 双曲余弦：，偶函数， 时，单调减， 时，单调增； 双曲正切：，奇函数，单调增函数。 函数的图形见书 P27~P2 & 下面公式成立 反双曲正弦 反双曲余弦 反双曲正切 函数图形的变换 平移 ① 由的图形，作 的图形。 图形右移，，图形左移。如：由 图形作 的图形。由 的 图形作的图形。 « X 2 10 1 图 1-23 ② 由的图形作 的图形。，图形上移，，图形下移。如：由 的图形作 的图形。 翻转 ① 由图形作 的图形。（以 轴为对称轴翻） 如：由的图形作的图形。 ② 由图形作 的图形。（以 轴为对称轴翻） 如：由的图形作的图形。 迭加与放缩（略）