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知识像烛光,能照亮一个人,也能照亮无数的人。--培根
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知识像烛光,能照亮一个人,也能照亮无数的人。--培根
第41届环球城市数学竞赛秋季赛 A级别 初级组
初级组
1.对大于1的正整数n,设n的素因数分解中因子的个数为n的复杂度。例如,数字4和6的复杂度都是2。
(1)若所有位于n和2n之间的整数,其复杂度不大于n的复杂度,求n所有的可能的值。
(2)求所有位于n和2n之间的整数,其复杂度小于n的复杂度,求n所有的可能的值。
2.在锐角三角形ABC边BC上取湾个点B1C1,再在△ABC内部取一个点A1,使得△A1B1C1也为锐角三角形。
证明:。
3.有100枚外观完全相同的硬币,分为金银铜三种,每种至少有一枚.每个金币重3克,每个银币重2克,每个铜币重1克.现有一个无砝码的天平,允许称重不超过101次,如何分辨出每一枚硬币的材质?
4.已知O为△ABC的外心,过0作∠B的内角平分线和外角平分线的垂线,垂足分别为P,Q。连接CB中点M和AB的中点N。证明:线段MN被直线PQ等分。
5.若两个不同的正整数m,n满足mn和(m+1)(n+1)都是完全平方数,就称(m,n)是一对好对子.
证明:对任意正整数m,至少存在一个正整数n大于m,使得(m,n)是一对好对子。
6女巫有若干张百元大钞,且没有其他现金.他用这些钱去书店买书,每本书的价格都是正整数,且他获得的找零都是1元硬币.当女巫购买价格为100元或以上的书时,他只用百元大钞付款,当他购买价格不超过100元的书籍时,他尽可能地使用零钱付款.当智多星所有百元大钞
都被用掉时,他所剩的现金为这前的一半。那么,女巫是否可能花费了超过5000元?
7.乔治有一枚方格子印章,他将其中102个格子涂上了黑色墨水。然后,他用这枚印章在一张白纸上盖了100次章。每次盖章时,都只有这102个黑格子在纸上留下了黑色印记。那么,是否可能在乔治盖了100次章之后,纸上的一个101×101的方格中,除了一个角落之外,其他所有的格子都是黑色的?
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