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2. 2 双曲线
2. 2.1 双曲线及其标准方程
【课标要求】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2 .会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.
【核心扫描】
(重点)
(重点)
2 .与双曲线定义有关的应用问题. (难点)
挑战自K点点落实01浄课前探究学习
挑战自K点点落实
自学导引
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于IF1F2I)的点的轨迹叫做
双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
试一试:在双曲线的定义中,必须要求 “常数小于IF1F2I”,那么“常数等于IF1F2I” ,
“常数大于IF1F2I”或“常数为0”时,动点的轨迹是什么?
提示 (1)若“常数等于IF1F2I”时,此时动点的轨迹是以 F1,F2为端点的两条射线
F1A,F2B(包括端点),如图所示.
A Fr F, 5
(2)若“常数大于IF1F2I”,此时动点轨迹不存在.
⑶若“常数为0”,此时动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
焦点在X轴上
焦点在y轴上
标准方程
a2- b^= 1
占-专=1
(a>0,b>0)
(a>0, b>0)
焦点坐标
F1( — c,0),F2(c,0)
F1(0,— c),F2(0,c)
a,b,c的关系
C2= a
2+ b2
2 2 2 2
想一想:如何判断方程 予—b^h 1(a>0,b>0)和* — b2= 1(a>0,b>0)所表示双曲线的焦点
的位置?
提示 如果X2项的系数是正的,那么焦点在 x轴上,如果y2项的系数是正的,那么焦点 在y轴上?对于双曲线,a不一定大于b,因此,不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上.
名师点睛
对双曲线定义的理解
把定常数记为 2a,当2a<|FiF21时,其轨迹是双曲线;当 2a =|FiF2|时,其轨迹是以
Fi、F2为端点的两条射线(包括端点);当2a>|F1F2|时,其轨迹不存在.
距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支?若 F1、F2表示双曲线的左、右焦
点,且点P满足pF1I—IpF2|= 2a,则点P在右支上;若点P满足PF2I- |PF1|= 2a,则点P在 左支上.
双曲线定义的表达式是 ||P F1I— |P F2||= 2a(0<2a<|F1F2|).
理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距 离.”
双曲线的标准方程
只有当双曲线的两焦点 F1、F2在坐标轴上,并且线段 F1F2的垂直平分线也是坐标轴
时得到的方程才是双曲线的标准方程.
标准方程中的两个参数 a和b确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b题型一 求双曲线的标准方程【例11根据下列条件,求双曲线的标准方程. 经过点pf3,乎)Q(—罟,5) c=76,经过点(一5,2),焦点在X
题型一 求双曲线的标准方程
【例11根据下列条件,求双曲线的标准方程.
经过点pf3,乎)Q(—罟,5)
c=76,经过点(一5,2),焦点在X轴上.
[思路探索]由于(1)无法确定双曲线焦点的位置,可设 1(a>0, b>0)两种情况,分别求解.另外也可以设双曲线方程为
=1(m n<0),直接代入两点坐标求解?对于 (2)可设其方程为
2
解(1)法一 若焦点在X轴上,设双曲线的方程为 予一吉=1(a>0, b>0),
焦点F1、F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦 点跟着正项走”,若 X2项的系数为正,则焦点在 X轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在 y
轴上.
用待定系数法求双曲线的标准方程时,如不能确定焦点的位置,可设双曲线的标准 方
程为Ax2+ By2= 1(AB<0)或进行分类讨论.
循磧善诱W类旁通2 2 2 2予—古=1(a>0, b>0)和
循磧善诱W类旁通
2 2 2 2予—古=1(a>0, b>0)和a-p =
2 2
- - 、X y
mx + ny = 1(mn<0)或—— m n
2 2 2孑-b.= 1(a>0 , b>0)或今=
=1(0< ?<6).
由于点卩(3,乎卜Q卜16 5”
< 9 225
{孑-1 所以{
256 25
、看-b = 1,
双曲线上,
解得卩2
lb =—
16,
(舍去).
若焦点在y轴上,设双曲线的方程为
2
y2a
2
X
b2 =1(a>0, b>0),
f 225
将P、Q两点坐标代入可得{「斎-
.25 256
1孑-97 =1,
解之得r 9,
b2= 16,
2 2
乂-/ = 1
9 16
2 2
法二 设双曲线方程为—+ y = 1(m *0). m
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