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垂直与弦直径 练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，　DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长. O A B C D E F 1．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ． 2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长． 2或14 ． A C O M N B 提高练习: 垂直与弦直径 垂直与弦直径 垂直与弦直径 垂直与弦直径 垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。 ① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ●O A B C D M└ 垂径定理及推论 ●O A B C D M└ 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。 ? ? ? A B C D O (1) A B C D ?O (2) A B C D ?O (3) (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 ? ? ? A B C ?O (4) A B C D ?O (5) A B C D ?O (6) E （7）平分弦的直径垂直于弦 ? 填空： 1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm. 。O A E D C B 。 O A B 第1题图 第2题图 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） 2 4 H 选择： 如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ） A、3 B、2 C、1 D、0 。O C D B A A 1. 平分已知弧 AB . 你会四等分弧AB吗? A B 问题2 (1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长. O A O C A B M (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长. 6 30° E B 例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ （3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 米。 A B · C D 4 O 练习：半径为５的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB =６,CD=８，求AB和CD间的距离. . E F . E F D A B C O (2) A B D C (1) O 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 挑战自我 1. 如图，⊙O 与矩形 ABCD 交于 E , F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求EF的长. · A B C