利用导数求函数单调区间极值和最值.docx

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 ____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度： 3（ 3/60 ） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长 / 带头人签名及日 期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 教学目标 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 ' 1. 定义：一般地，设函数  y  f ( x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内  f  (x)  0 ，那么函数  y  f (x)  在 ' 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内  f  ( x)  0 ，那么函数  y  f ( x) 在为这个区间内的减函数  . 用导数求函数单调区间的步骤： ' ①求函数 f ( x) 的导数 f ( x) . ' ②令 f ( x) 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . ' ③令 f ( x) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间 . 2 x 例 14、 .x ＞ 0 时，证明不等式： 1 2x e . 二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f ( x) f ( x0) ，就说 f ( x0) 是函数的一 个极大值，记作 y极大值 f x0 ， x0 是极大值点 2、极小值 一般地，设函数 f ( x) 在 附近有定义，如果对 附近的所有的点，都有 ( ) ( )就说 是函数 x0 f x f x0 f ( x0) f ( x) x0 的一个极小值，记作 y极小值 f x0 ， x0 是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值 请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 . 并不意味着 它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 . （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值， 如下图所示， x1 是极大值点， x4 是极小值点，而 f ( x4 ) f ( x1) . （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部，也可能在区间的端点 y f(x 5 ) f(x 3 ) f(x 1 ) f(x 4 ) a x 1 x 2 O x3 x4 x 5 b x f(b) f(x 2 ) f(a) 4、判别 f x0 是极大、极小值的方法 : ' ( x0 ) ' 若 x0 满足 f 0 ，且在 x0 的两侧 f (x) 的导数异号， 则 x0 是 f (x) 的极值点， f x0 是极值， 并且如果 f ( x) 在 x0 两侧满足 “左正右负” ，则 x0 是 f ( x) 的极大值点， f x0 是极大值； 如果 f ' (x) 在 x0 两侧满足 “左负右正” ，则 x0 是 f ( x) 的极小值点， f x0 是极小值 5、求可导函数 f ( x) 的极值的步骤 : ' (1) 确定函数的定义区间，求导数 f ( x) ' (2) 求方程 f ( x) 0 的根 ' (3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 . 检查 f ( x) 在方程根左右的值的 符号，如果左正右负，那么 f (x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x) 在这个根处取得极小值；如果左 右不改变符号，那么 f ( x) 在这个根处无极值 例 16、求 y 1 3 4x 4 的极值 . 3 x 例 17、函数 f ( x) a sin x 1 sin 3x 在 x 处具有极值，求 a 的值 . 3 3 例 18、 2 y a ln x b x x 在 x 1和 x 2 处有极值，求 a、b 的值 3 2 2 3 例 10、已知函数 f ( x) x 3a x 9 a x a （ 1） 设 a 1 ，求函数 f (x) 的极值； 1 ' （ 2） a ，且当 a 1,4a 时， f (x) 12a 恒成立，试确定 a 的取值范围。 4 例 11、已知函数 ( ) 4 3 2 2 ( ) ，其中 。 f x x a x x b x R a,b