第二章多元微积分学6隐函数的微分法.ppt

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 多元微积分学 大 学 数 学（三） 脚本编写：王利平 课件制作：王利平 第一章 多元函数微分学 主讲教师：王利平 请点击 第六节 隐函数的微分法 一. 隐函数(二元)的概念 二. 一元函数的隐函数求导法 四.由方程组确定的隐函数求导法 三.由一个方程确定的隐函数求导法 如果在方程式 中, 时, 相应地总有满足 该方程的唯一的 z 值存在, 则称该方 程在 ? 内确定隐函数 注意, 隐函数不一定都能显化. 一. 隐函数(二元)的概念 如果在方程式 中, 时, 相应地总有满足该 在 ? 内确定隐函数 方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程 将概念推广到一般情形 利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式 二. 一元函数的隐函数求导法 设 确定隐函数 两边关于 x 求导, 得 若 则对方程 从而得到一元隐函数求导公式 设 求 令 则 故 , 例 解 三.由一个方程确定的隐函数求导法 多元隐函数 的导数 一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数 (隐函数存在定理) 设 1. 2. 3. 则方程 在 内唯一 确定一个函数 且 隐函数存在的条件 定理 隐函数存在定理只是告诉我们在一定的条件下隐函数存在、唯一、可导 , 但没有告诉我们求隐函数偏导数的方法 . 怎么求隐函数的导数呢 ? 由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法, 因为 由连续函数性质 在其中 , 故 , . 对方程 F(x, y, z) = 0 两边关于 x , y 求偏导, 得 公式 函数 的偏导数. 求方程 所确定的 令 则 故 例 解 函数 的偏导数. 求方程 所确定的 令 则 故 例 解 设 确定 求 其中, 故 例 解 请同学们运用点函数, 将上面的隐函数 存在定理推广至一般的 n 元函数情形. 现在对答案 30 秒完成. 追加 30 秒. (隐函数存在定理) 设 1. 2. 3. 则方程 在 内唯一确定函数 且 求导公式？ 定理 求导公式 为了将一个方程确定的隐函数的求 导方法推广至由方程组确定的隐函数的 情形, 我们首先要介绍雅可比行列式. 四.由方程组确定的隐函数求导法 雅可比行列式 雅可比行列式记号 复合函数情形 当所出现的函数均有一阶连续偏导时, 雅可比行列式有以下两个常用的性质： 1. 2. 问 题 1 设 确定函数 求 方程组 方程组中每个方程两边关于 x 求导： 移项, 得 运用克莱满法则解此二元一次方程组 当 时, 方程组有唯一解： , . 其中 , , 我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一). 问 题 2 设 确定函数 求 方程组 想想, 怎么做 ？ 想想, 怎么做 ？ 问 题 2 对方程组中的每个方程关于变量 x 求导, 然后解关于 的二元一次方程组. 将 y 看成常数 问 题 2 将 y 看成常数 问 题 2 将 y 看成常数 问 题 2 将 x 看成常数 对方程组中的每个方程关于变量 y 求导, 然后解关于 的二元一次方程组. * *