平面几何竞赛之三角形的“五心”.pdf

______________________________________________________________________________________________________________ 平面几何竞赛之三角形的“五心” 一、基本概念 1 、内心： 与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心 .内心是 三角形三条内角平分线的交点 .三角形的内心在三角形内部 . A A A F F F E E E B D C B D C B D C 内心有以下常用的性质： 性质 1：设 I 是⊿ABC 内一点， I 为⊿ABC 内心的充要条件是： I 到三角形三边的距离相等 . 证明： A 性质 2 ：设 I 是⊿ABC 内一点， AI 所在直线交⊿ ABC 的外接圆于 D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ID=DB=DC. I 证明： B C D 性质 3 ：设 I 是⊿ABC 内一点， I 为⊿ABC 内心的充要条件是： 1 1 1 ∠BIC=90 0+ ∠A ，∠AIC=90 0+ ∠B ，∠AIB=90 0+ ∠C. 2 2 2 精品资料 ______________________________________________________________________________________________________________ 证明： 性质 4 ：设 I 是⊿ABC 内一点， I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ ABC 的外接圆上 . 证明： A 性质 5 ：设 I 为⊿ABC 内心， BC=a ，AC=b ，AB=c ， I 在 BC 、AC 、AB