考研高数知识总结.docx

精品学习资料精品学习资料一、函数、极限、连续（一）函数1、分段函数讨论 y=f（x）在分段点处的极限、连续、 导数等问题时， 必须分别 先讨论 左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：定义域内皆连续这个定理。分段函数不是初等函数，不能用初等函数在Eg： f(x)=|x|;隐函数和符号函数两个都是分段函数。f(x)=sgn x;2、由方程 F（ x，y）=0 确定y=y （ x）称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，（ 不一定一个单值函数反函数 只讨论单值函数），有的不可以化。3、。4、区分基本初等函数和初等函数(1) 基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；他们的 概念、性质、图像意义深远，如利用图像求极限(2) 初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次 的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数，称为初等函数。Eg：分段函数不是初等函数。5、复合函数6、考研数学中常出现的非初等函数 (1)用极限表示的函数ylim f n ( x)1n2 ylim f (t , x) 精品学习资料 精品学习资料 一、函数、极限、连续 （一）函数 1、 分段函数 讨论 y=f（x）在分段点处的极限、 连续、 导数等问题时， 必须分别 先讨论 左、右极限， 左、右连续性和左、右导数，需要强调： 定义域内皆连续这个定理。 分段函数不是初等函数，不能用初等函数在 Eg： f(x)=|x|; 隐函数 和符号函数 两个都是分段函数。 f(x)=sgn x; 2、 由方程 F（ x，y）=0 确定 y=y （ x）称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数， （ 不一 定一个单值函数 反函数 只讨论单值函数 ），有的不可以化。 3、 。 4、 区分基本初等函数和初等函数 (1) 基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数；他们的 概念、性质、图像 意义深远，如利用图像求极限 (2) 初等函数： 由常数和基本初等函数经过 有限次 的四则运算和有限次的函数复合步 骤所构成并可用 一个式子表示 的函数，称为初等函数。 Eg：分段函数不是初等函数。 5、复合函数 6、考研数学中常出现的非初等函数 (1)用极限表示的函数 y lim f n ( x) 1 n 2 y lim f (t , x) t x (2)用变上、下限积分表示的函数 x dy dx 1 y f ( x) dt,其中 f (t)连续，则 f ( x) 0 2 2 ( x) dy dx y f (t) dt,其中 （1 x）， （2 x）可导， f (t)连续，则 f [ 2 ( x)] ( x) f [ 1 ( x)] 1 (x) 2 1( x) 7、函数的几种性质 （ 1） 有界性； （ 2）奇偶性； X， f ( x1 ) f (x2 ) ），单 （ 2） 单调性：区分（严格）单调增加（ x2 定义域 x1 f ( x1 ) (x2 ) 调不减（ f ）；单调减少，单调不增。 周期性 ; f ( x T ) f ( x) ，一般把最小正周期称为周期。 （ 3） 1 | x 例题： 1、函数的定义域 （ 1）求 y x x 的定义域 ln 5 | 定义域为 0 [1,4) (4,5) (5,6) (6, ) 欢迎下载 第 1 页，共 12 页 精品学习资料精品学习资料x 21（ 2 ） 设f （ x） 的定义 域 为[-a ，a] （a0 ） , 求f(的定义域。)x 2aax 2解：要求a, 则1a110,0,a1| x | 1a2当 a当 0也即1时，a，则x11a1时，1a1 a | x |aa或1 - ax1-1ax-1 - a（重点是掌握这种方法及解题速度）2、函数的值域（ 1）有时直接不好求时，运用反函数的定义域即是原函数的值域！（ 2）分段函数求值域和反函数时，要一段一段地考虑去求。 3.求复合函数有关表达式（第一、二种较多，第三种较少）f [ g( x)]（ 1）已知f（ x）和 g（ x ），求xeg：设 f ( x), 精品学习资料 精品学习资料 x 2 1 （ 2 ） 设 f （ x ） 的 定 义 域 为 [-a ， a] （ a0 ） , 求 f( 的 定 义 域 。 ) x 2 a a x 2 解：要求 a, 则1 a 1 1 0, 0, a 1 | x | 1 a 2 当 a 当 0 也即 1时， a，则 x 1 1 a 1时，1 a 1 a | x | a a或 1 - a x 1 - 1 a x - 1 - a （重点是掌握这种方法及解题速度） 2、函数的值域 （ 1）有时直接不好求时，运用反函数的定义域即是原函数的值域！ （ 2）分段函数求值域和反函数时，要一