专题71 函数法求最值问题（原卷版）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练.docxVIP

专题71 函数法求最值问题 【规律总结】 【典例分析】 例1．（2020·江苏宿迁市·九年级二模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】 解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E， 则四边形CEHO是矩形， ∴ OH＝CE＝4， ∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°， ∴ ∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°， ∴ ∠ABH＝∠EAC， ∴ △AHB∽△CEA， ∴ ，即 ∴ AE＝2BH， 设BH＝x，则AE＝2x， ∵A（2，4）， ∴ OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x， ∴ B（0，4﹣x），C（2+2x，0）， ∵M为BC的中点， ∴ BM＝CM， ∴ M（1+x，）， ∵ P（1，0）， ∴ PM＝， ∴ 当时，PM有最小值为=， 故选：C． 【点睛】 本题考查了坐标与图形性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、二次函数的性质等知识，认真分析图形，借助作辅助线，利用相似三角形的性质及二次函数的最值求解是解答的关键． 例2．（2020·湖北武汉市·九年级期中）如图，四边形的两条对角线所成的锐角为，则四边形的面积最大值为_______________________． 【答案】 【分析】 根据四边形面积公式，S＝AC×BD×sin60°，根据sin60°＝得出S＝x（10?x）×，再利用二次函数最值求出即可． 【详解】 解：∵AC与BD所成的锐角为60°， ∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°， 设AC＝x，则BD＝10?x， 所以S＝x（10?x）×＝（x?5）2＋， 所以当x＝5，S有最大值． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键． 例3．（2021·上海）如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形． （1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长． （2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值． 【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20 【分析】 （1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解； （2）根据相似三角形的性质求出GF＝10?x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题． 【详解】 （1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴AK：AH＝GF：BC， ∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y， ∴(8﹣y)：8＝y：10， 解得：y＝； （2）设EF＝x，则KH＝x． ∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x， 由（1）可知：， 解得：GF＝10﹣x， ∴s＝GF?EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20， ∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 【好题演练】 一、单选题 1．（2020·无锡市凤翔实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，点A（1，0）、B（5，0）．连接AC，以 AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 2．（2020·深圳市龙岗区南湾街道沙湾中学九年级其他模拟）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动(不含端点A、D)，当线段BE最短时，AP的长为( ) A．cm B．1cm C．cm D．2cm 二、填空题 3．（2020·福建龙岩市·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，直线与抛物线交于A，B两点，P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大值时，点P的横坐标为___________． 4．（2020·浙江省鄞州区宋诏桥中学九年级一模）如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，