典型例题：基本不等式.pdfVIP

典型例题 【例1】 已知 x ，y 都是正数，求证： (1) ≥2； 2 ＋y2 3＋y3 3 3 (2)(x ＋y)(x )(x ) ≥８x y . 【例2 】 (1) 若 x0, 求 的最小值 ; (2)若 x0, 求 的最大值 . 参考答案 例 1： 【分析】利用基本不等式进行证明 . 【解】∵x ，y 都是正数， 2 2 3 3 ∴ ＞0， 0，x ＞0，y ＞0，x ＞0，y ＞0. (1) ＝2 即 ≥2. (2)x ＋y ≥ ＞0 ，x2 ＋y2 ≥ ＞0 ， x3＋y3 ≥ ＞0， 2 2 3 3 ∴(x ＋y)(x ＋y )(x ＋y ) ≥ · · ＝8x3 3 y . 2 2 3 3 3 3 即(x ＋y)(x ＋y )(x ＋y ) ≥８x y . 【点拨】在运用定理 时，注意条件 a，b 均为正数，结合不等式的性质 (把握 好每条性质成立的条件 )，进行变形 . 例 2 【分析】本题 (1)x0 和 =36 两个前提条件 ;(2) 中 x0,可以用 -x0 来转化 . 【解】 （1) 因为 x0 由基本不等式得 ,当且仅当 ，即 x= 时, 取最小值 12. (2)因为 x0, 所以-x0, 由基本不等式得 所以 . 当且仅当 即 x= 时, 取得最大 -12. 【点拨】 利用基本不等式求最值时 ,个项必须为正数 ,若为负数 ,则添负号变正 .